指数関数と対数関数の問題

真数条件・底の条件

底について $x>0,x\ne 1$、$2x>0,2x\ne 1$、$4x>0,4x\ne 1$ が必要である。したがって
$$x>0,x\ne 1,x\ne \frac{1}{2},x\ne \frac{1}{4}$$
である。真数 $4,2,8$ は正なので、真数についての条件はない。

底を $2$ にそろえる

$t={\log }_{2}x$ とおく。上の条件は $t\ne 0,t\ne -1,t\ne -2$ となる。底の変換公式より
$${\log }_{x}4=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}x}=\frac{2}{t},{\log }_{2x}2=\frac{1}{{\log }_{2}2x}=\frac{1}{t+1},{\log }_{4x}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4x}=\frac{3}{t+2}$$
である。よって不等式は
$$\frac{2}{t}+\frac{1}{t+1}-\frac{3}{t+2}\geqq 0$$
となる。

分数不等式を解く

左辺を通分する。分子は
$$2(t+1)(t+2)+t(t+2)-3t(t+1)=(2t^2+6t+4)+(t^2+2t)-(3t^2+3t)=5t+4$$
となるので、不等式は
$$\frac{5t+4}{t(t+1)(t+2)}\geqq 0$$
である。分母の符号は $t$ によって変わるので、両辺に分母を掛けずに符号を調べる。

符号が変わりうる点は $t=-2,-1,-\frac{4}{5},0$ である。各区間で分子・分母の符号を調べると次のようになる。
- $t<-2$ のとき：分子 $<0$、分母は負の数 $3$ つの積で $<0$。よって左辺 $>0$ で、不等式を満たす。
- $-2<t<-1$ のとき：分子 $<0$、分母は $(-)(-)(+)>0$。よって左辺 $<0$ で、満たさない。
- $-1<t<-\frac{4}{5}$ のとき：分子 $<0$、分母は $(-)(+)(+)<0$。よって左辺 $>0$ で、満たす。
- $t=-\frac{4}{5}$ のとき：左辺 $=0$ で、満たす。
- $-\frac{4}{5}<t<0$ のとき：分子 $>0$、分母 $<0$。よって左辺 $<0$ で、満たさない。
- $t>0$ のとき：分子 $>0$、分母 $>0$。よって左辺 $>0$ で、満たす。

したがって、求める $t$ の範囲は
$$t<-2,-1<t\leqq -\frac{4}{5},t>0$$
である。

$x$ に戻す

$x=2^t$ であり、底 $2$ は $1$ より大きいので、$x=2^t$ は $t$ について単調に増加する。よって
$$0<x<2^{-2}=\frac{1}{4},\frac{1}{2}<x\leqq 2^{-\frac{4}{5}},x>1$$
となる。

なお、$2^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{16}}\approx 0.574$ であり、$\frac{1}{2}<2^{-\frac{4}{5}}$ を満たしている。また、これらの範囲は最初の条件（$x\ne 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$）をすべて満たしている。

以上より、求める範囲は
$$0<x<\frac{1}{4},\frac{1}{2}<x\leqq 2^{-\frac{4}{5}},1<x$$
である。

真数・底の条件より $x>0$, $x\ne 1$, $2x\ne 1$, $4x\ne 1$ である。$t={\log }_{2}x$ とおくと $t\ne 0,-1,-2$ であり、
${\log }_{x}4=\frac{2}{t}$, ${\log }_{2x}2=\frac{1}{1+t}$, ${\log }_{4x}8=\frac{3}{2+t}$。
よって $\frac{2}{t}+\frac{1}{1+t}-\frac{3}{2+t}\ge 0$。通分すると分子は $2(t+1)(t+2)+t(t+2)-3t(t+1)=5t+4$ となるので
$\frac{5t+4}{t(t+1)(t+2)}\ge 0$。
符号を調べると、$t<-2$、$-1<t\le -\frac{4}{5}$、$t>0$ が解。
$x=2^t$ に戻して $0<x<\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}<x\le 2^{-4/5}$、$x>1$。
検算：$x=2^{-4/5}$ では $t=-4/5$ で $\frac{2}{t}+\frac{1}{1+t}-\frac{3}{2+t}=-2.5+5-2.5=0$ となり等号が成立する。また $x=2$（$t=1$）では左辺 $=2+\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}\ge 0$ で成立する。