対数の置き換えと最大・最小

$X = lo g_{2} x$ , $Y = lo g_{2} y$ や $t = lo g_{a} b$ と置き換えて、 $x^{l o g_{2} y} = 64$ を $X Y = 6$ に直すなど条件を整理し、 $lo g_{x y} (x^{2} y^{3})$ のような式の値やとりうる値の範囲、 $(lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{2}$ の最大・最小を求められる

前提

対数方程式・対数不等式（数学II 指数関数と対数関数）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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対数方程式・対数不等式（数学II 指数関数と対数関数）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

説明

$lo g_{2} x$ のような対数のかたまりを 1 つの文字 $t$ に置き換えると、対数を含む式が見慣れた 2 次式や 1 次式に変わります。この技能を使うと、 $(lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{2}$ のような式の最大値・最小値を、定義域つきの 2 次関数の問題として求められます。また、 $x^{l o g_{2} y} = 64$ のような条件も、両辺の対数をとって $X = lo g_{2} x$ , $Y = lo g_{2} y$ と置けば $X Y = 6$ のような簡単な式に直せます。そのうえで、 $lo g_{x y} (x^{2} y^{3})$ のような式の値やとりうる値の範囲も調べられます。

なぜそうしてよいのか

たとえば $t = lo g_{2} x$ と置くとします。底 $2$ は $1$ より大きいので、 $x$ が大きくなると $t$ も必ず大きくなります（単調に増加します）。さらに $x > 0$ で $x = 2^{t}$ ですから、 $x$ と $t$ は 1 対 1 に対応します。したがって $\frac{1}{4} ≦ x ≦ 4$ のとき $t$ は $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ から $lo g_{2} 4 = 2$ までのすべての値を、もれなく重複なくとります。つまり「 $x$ を範囲内で動かしたときの式の値」と「 $t$ を対応する範囲内で動かしたときの式の値」はまったく同じものになります。だから $t$ の式の最大・最小を調べれば、元の式の最大・最小がわかります。

置き換えた式が $t$ の 2 次式になるのは、対数の性質 $lo g_{2} x^{k} = k lo g_{2} x$ （ $x > 0$ ）と $lo g_{2} (x y) = lo g_{2} x + lo g_{2} y$ のおかげです。対数を含む部分がすべて $lo g_{2} x$ の 1 次式や 2 乗で表せるので、残りは前提の技能「定義域つきの 2 次関数の最大・最小」で処理できます。

条件式を整理するときも考え方は同じです。 $x^{l o g_{2} y} = 64$ の両辺は正なので、底 $2$ の対数をとると $lo g_{2} y \cdot lo g_{2} x = 6$ 、つまり $X Y = 6$ になります。 $lo g_{x y} (x^{2} y^{3})$ も底の変換で $\frac{lo g _{2} ( x ^{2} y ^{3} )}{lo g _{2} ( x y )} = \frac{2 X + 3 Y}{X + Y}$ と書けます。ただしこの式が意味をもつには、底の条件 $x y > 0$ , $x y \neq = 1$ 、すなわち $X + Y \neq = 0$ が必要です。

手順

真数条件と、与えられた $x$ の範囲を確認する（例: $x > 0$ かつ $\frac{1}{4} ≦ x ≦ 4$ ）。
対数の性質で式を $lo g_{a} x$ だけで表す（例: $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ ）。底が違う対数があれば、底の変換でそろえる。
$t = lo g_{a} x$ と置き、 $x$ の範囲から $t$ の範囲を求める。底 $a > 1$ なら不等号の向きはそのまま、 $0 < a < 1$ なら向きが逆になる。
$t$ の式（多くは 2 次式）を平方完成し、 $t$ の範囲で頂点と端の値を比べて最大値・最小値を求める。
最大・最小をとる $t$ の値から、 $x = a^{t}$ で対応する $x$ の値を求めて答える。

例題

$\frac{1}{4} ≦ x ≦ 4$ のとき、関数 $f (x) = (lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{2}$ の最大値と最小値を順に求めよ。

例題の解答

【手順1】真数条件は $x > 0$ です。 $\frac{1}{4} ≦ x ≦ 4$ はこれを満たします。
【手順2】 $x > 0$ なので $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ です。よって $f (x) = (lo g_{2} x)^{2} - 2 lo g_{2} x$ と表せます。
【手順3】 $t = lo g_{2} x$ と置きます。底 $2 > 1$ なので、 $\frac{1}{4} ≦ x ≦ 4$ から $lo g_{2} \frac{1}{4} ≦ t ≦ lo g_{2} 4$ 、すなわち $- 2 ≦ t ≦ 2$ です。
【手順4】 $f (x) = t^{2} - 2 t = (t - 1)^{2} - 1$ です。頂点 $t = 1$ は範囲 $- 2 ≦ t ≦ 2$ に含まれるので、最小値は $- 1$ です。端の値は、 $t = - 2$ のとき $4 + 4 = 8$ 、 $t = 2$ のとき $4 - 4 = 0$ です。頂点 $t = 1$ から遠い端は $t = - 2$ なので、最大値は $8$ です。
【手順5】 $t = - 2$ のとき $x = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ 、 $t = 1$ のとき $x = 2^{1} = 2$ です。
したがって、 $x = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $8$ 、 $x = 2$ のとき最小値 $- 1$ をとります。

答え: $(8, - 1)$

よくある誤り

$t$ の範囲を $x$ の範囲のまま $\frac{1}{4} ≦ t ≦ 4$ としてしまう誤り。正しくは $lo g_{2} \frac{1}{4} ≦ t ≦ lo g_{2} 4$ を計算して、 $- 2 ≦ t ≦ 2$ とします。
$lo g_{2} x^{2}$ を $(lo g_{2} x)^{2}$ と同じものとしてしまう誤り。正しくは $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} x$ （ $x > 0$ ）で、 $(lo g_{2} x)^{2}$ は $lo g_{2} x$ 自体の 2 乗です。
底が $1$ より小さいときに、 $t$ の範囲の大小をそのままにしてしまう誤り。例えば $t = lo g_{\frac{1}{2}} x$ , $1 ≦ x ≦ 4$ のとき $0 ≦ t ≦ - 2$ とはせず、向きを逆にして $- 2 ≦ t ≦ 0$ とします。
最大・最小をとる $x$ を、 $t$ の値のまま答えてしまう誤り。例えば $t = 1$ で最小なら、 $x = 1$ ではなく $x = 2^{1} = 2$ が答えです。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

対数の置き換えと最大・最小

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