指数関数と対数関数の問題

手順1：置き換える。
$t={\log }_{2}x$ とおきます。対数の性質（べきの性質）より
$${\log }_2{x}^4=4{\log }_{2}x=4t$$
なので、
$$f(x)=t^2-4t+5$$
と $t$ の2次関数で表せます。

手順2：$t$ のとりうる値の範囲を求める。
底 $2$ は $1$ より大きいので、$y={\log }_{2}x$ は増加関数です。$\frac{1}{2}\leqq x\leqq 16$ の各辺の $2$ を底とする対数をとると
$${\log }_2\frac{1}{2}\leqq {\log }_{2}x\leqq {\log }_{2}16$$
となります。${\log }_2\frac{1}{2}=-1$、${\log }_{2}16=4$ なので
$$-1\leqq t\leqq 4$$
です。

手順3：定義域つきの2次関数の最大値を求める。
平方完成すると
$$t^2-4t+5=(t-2{)}^2+1$$
です。グラフは下に凸で、軸は $t=2$ です。定義域 $-1\leqq t\leqq 4$ の両端の値を比べると、
- $t=-1$ のとき $(-1-2{)}^2+1=10$
- $t=4$ のとき $(4-2{)}^2+1=5$

となります。軸 $t=2$ から遠い端 $t=-1$ で最大になるので、最大値は $10$ です。

手順4：そのときの $x$ を確かめる。
$t=-1$ のとき ${\log }_{2}x=-1$ より $x=2^{-1}=\frac{1}{2}$ です。これは範囲 $\frac{1}{2}\leqq x\leqq 16$ に含まれます。

実際に代入して確かめると、$x=\frac{1}{2}$ のとき
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=(-1{)}^2-(-4)+5=10$$
となり、正しいことがわかります。

よって、最大値は $10$（$x=\frac{1}{2}$ のとき）です。

$t={\log }_{2}x$ とおく。$\frac{1}{2}\leqq x\leqq 16$ より $-1\leqq t\leqq 4$。
${\log }_2{x}^4=4{\log }_{2}x=4t$（$x>0$ なので成り立つ）。
よって $f=t^2-4t+5=(t-2{)}^2+1$。
軸 $t=2$ は区間 $-1\leqq t\leqq 4$ に含まれ、軸から遠い端点で最大となる。
$t=-1$ のとき $f=(-3{)}^2+1=10$、$t=4$ のとき $f=4+1=5$。
よって最大値は $t=-1$、すなわち $x=\frac{1}{2}$ のとき $10$。
検算：$x=1/2$ のとき ${\log }_{2}x=-1$、${\log }_2{x}^4={\log }_2(1/16)=-4$。$f=1+4+5=10$。