対数の定義と性質

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

次の式の値を求めよ。$$2{\log }_{3}6-{\log }_{3}4$$

次の式の値を求めよ。$${\log }_{3}18+2{\log }_{3}6-{\log }_{3}8$$

次の式の値を求めよ。$${\log }_{2}24-{\log }_{4}9$$

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^x$$
について、$f^{\prime }(e)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底、$\log$ は自然対数を表す。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$

定積分 $${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

定積分
$${\int }_3^4\frac{1}{(x-1)(x-2)}dx$$
を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=(2x+1)y$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を $\lambda$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\lfloor {\log }_3\frac{1}{x}\rfloor$$
で定めるとき、ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1)}fd\lambda$$
の値を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$G_n=\{(1+X_1)(1+X_2)\cdots (1+X_n){\}}^{1/n}$$
とおく。$n\to \infty$ のとき $G_n$ は確率 $1$ である定数 $L$ に収束する。$L$ の値を求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従い、その確率密度関数は
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
であるとする。$Y=-\log X$ とおく（$\log$ は自然対数）。$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ とする。正の整数 $n$ に対して ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ を小数で表したとき、小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとする。このような正の整数 $n$ の個数を求めよ。

座標平面上で、曲線 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ と直線 $y=-x+\frac{5}{2}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

広義積分
$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2(x+1)}$$
の値を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とする。確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ母集団から、大きさ $4$ の無作為標本を抽出したところ、観測値は
$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{2}$$
であった。この観測値に基づく $\theta$ の最尤推定値を求めよ。

ある気体の分解反応の速度定数 $k$ は、絶対温度 $T$ に対してアレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、$E_a$ は活性化エネルギー、$R$ は気体定数である。この反応の活性化エネルギーは $E_a=55\text{kJ/mol}$ で、温度によらず一定とする。

絶対温度 $300\text{K}$ のときの速度定数を $k_1$ とする。速度定数が $4k_1$ になる絶対温度は何 K か。有効数字 3 桁で答えよ。ただし、気体定数は $R=8.3\text{J/(K}\cdot \text{mol)}$、${\log }_{e}2=0.69$ とする。

${\mathbb{R}}^2$ の開単位円板を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid |x|<1\}$ とし（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=-\frac{1}{2\pi }\log |x|(x\ne 0)$$
とする。$x\in B$ に対し、関数 $h_x\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$${\Delta }_y{h}_x(y)=0(y\in B),h_x(y)=\Phi (y-x)(y\in \partial B)$$
をみたすもの（最大値原理により一意に定まる）とし、$B$ における $-\Delta$ のディリクレ境界条件のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-h_x(y)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $y_0=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

ある試料には 2 種類の放射性核種 X, Y が含まれている。X の半減期は $T$、Y の半減期は $2T$ であり（$T>0$）、どちらも 1 つの経路だけで安定な核種に崩壊する（X と Y は互いに崩壊して移り変わることはない）。時刻 $t=0$ において、X の放射能と Y の放射能は等しかった。

試料全体の放射能（X と Y の放射能の和）が、$t=0$ のときの値の半分になる時刻 $t$ を $T$ を用いて表せ。

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。

入力・出力のアルファベットがともに $\{0,1\}$ で、ビット反転確率が $\frac{1}{4}$ の 2 元対称通信路（BSC）を考える。この通信路を 2 つ直列につなぎ、1 つ目の通信路の出力をそのまま 2 つ目の通信路の入力とする。2 つの通信路でのビット反転は互いに独立に起こるものとする。

1 つ目の通信路の入力 $X$ から 2 つ目の通信路の出力 $Z$ までを 1 つの通信路とみなしたとき、その通信路容量（1 回の使用あたり、単位はビット）を求めよ。ただし、対数の底は $2$ とする。

エネルギー差 $E_2-E_1=h\nu$ の 2 つの準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、絶対温度 $T$ の熱平衡にある黒体放射の中に置かれている。放射のエネルギー密度のスペクトル（単位体積・単位振動数あたり）はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}\right)-1}$$
で与えられるとする。準位 2 にある 1 個の原子が単位時間あたりに自然放出を起こす確率を $A_{21}$、誘導放出を起こす確率を $B_{21}\rho (\nu )$ とし、アインシュタイン係数の間には
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$
の関係があるものとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数である。

遷移の波長（真空中）を $\lambda$ とする。準位 2 の原子について、誘導放出の確率と自然放出の確率がちょうど等しくなる温度 $T$ を、$h$, $c$, $k_{\mathrm{B}}$, $\lambda$ を用いて表せ。

長さ $L=0.50\text{m}$ の 2 枚の平面鏡からなるファブリ・ペロー型の光共振器（受動共振器、内部は真空で屈折率 $1$）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=0.99$, $R_2=0.98$ であり、鏡での透過以外の損失（回折損失・吸収など）はないものとする。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、1 往復（所要時間 $\frac{2L}{c}$）ごとに $R_1{R}_2$ 倍になる。これを連続的な指数関数的減衰 $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ とみなし、光子寿命 ${\tau }_c$ を
$$e^{-2L/(c{\tau }_c)}=R_1{R}_2$$
で定める。このとき共振器の各縦モードのスペクトルはローレンツ型となり、その半値全幅（線幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられる。

縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ を MHz 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

出力電圧を変えられる直流電源、シリコンの pn 接合ダイオード、電流計の 3 つを 1 つの輪になるように直列につなぐ。ダイオードの p 側（アノード）を電源の正極側に、n 側（カソード）を電流計を通して電源の負極側につなぎ、ダイオードに順方向電圧 $V$ を加えて、回路を流れる電流 $I$ を電流計で測定する。

ダイオードの電流電圧特性は理想ダイオードの式
$$I=I_s\left\{\exp \left(\frac{V}{V_T}\right)-1\right\}$$
（$I_s$ は逆方向飽和電流）に従い、熱電圧は $V_T=25\mathrm{mV}$ で温度は一定とする。また、測定する範囲では $\exp (V/V_T)\gg 1$ であり、電流計の内部抵抗やダイオードの直列抵抗、導線の抵抗は無視できるものとする。

はじめ順方向電流は $I_1=0.50\mathrm{mA}$ であった。電流を $I_2=4.0\mathrm{mA}$ にするには、ダイオードの両端の順方向電圧を何 $\mathrm{mV}$ 大きくすればよいか。自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。

ある夜、地上から 2 つの恒星 A, B を観測した。恒星 A の見かけの等級は $1.4$ 等であり、恒星 B の見かけの明るさは恒星 A の $\frac{1}{40}$ 倍であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になるものとし、${\log }_{10}2=0.30$ を用いてよい。恒星 B の見かけの等級を小数第 1 位まで求めよ。

入力アルファベットが $\{0,1\}$、出力アルファベットが $\{0,1,e\}$ の離散無記憶通信路を考える。ここで $e$ は「消失」を表す記号である。入力 $X$ と出力 $Y$ の条件付き確率は、$x\in \{0,1\}$ に対して
$$P(Y=x\mid X=x)=\frac{5}{8},P(Y=e\mid X=x)=\frac{1}{4},P(Y=1-x\mid X=x)=\frac{1}{8}$$
で与えられる。この通信路の通信路容量 $C={\max }_{P_X}I(X;Y)$ を求めよ。ただし、エントロピーと相互情報量の対数の底は $2$ とする（単位はビット）。

平面の第1象限を $Q=\{(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid y_1>0,y_2>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=-\frac{1}{2\pi }\log |z|(z\in {\mathbb{R}}^2,z\ne 0)$$
とする。$x\in Q$ を固定したとき、関数 $G(x,\cdot )$ は次の 3 条件をみたすものとする。

• $(1)$ $G(x,y)=\Phi (y-x)-h^x(y)$ と書ける。ここで $h^x$ は $Q$ で調和で $\overline{Q}$ 上連続である。
• $(2)$ $y\in \partial Q$ のとき $G(x,y)=0$ である。
• $(3)$ $|y|\to \infty$ のとき $G(x,y)\to 0$ である。

この条件をみたす $G$（$Q$ におけるディリクレ問題のグリーン関数）について、$x=(1,2)$, $y=(2,1)$ のときの値 $G(x,y)$ を求めよ。

電気ヒーターを内蔵した貯湯タンクを考える。タンク内には質量 $m=100\text{kg}$ の水が入っており、水の比熱は $c=4.2\times 10^3\text{J/(kg}\cdot \text{K)}$ で一定とする。水はよくかき混ぜられていて、温度はタンク内で一様とみなす。

タンクの壁（側面・底面・ふたを含む）の伝熱面積は合計 $A=2.0{\text{m}}^2$ で、壁は内側から順に次の 2 層からなる。壁の厚さはタンクの大きさに比べて十分に小さいので、壁は平板とみなしてよい。

• 鋼板: 厚さ $2.0\text{mm}$、熱伝導率 $16\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• 断熱材: 厚さ $6.0\text{mm}$、熱伝導率 $0.040\text{W/(m}\cdot \text{K)}$

水と壁の内面との間の熱伝達率は $h_i=250{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$、壁の外面と周囲の空気との間の熱伝達率（放射の効果も含めた値）は $h_o=10{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ で、いずれも壁全体で一様かつ一定とする。周囲の空気の温度は $20{}^{\circ }\text{C}$ で一定である。壁の熱容量は無視し、壁の中の熱の流れは各瞬間において定常とみなす（準定常近似）。

はじめ水の温度は $20{}^{\circ }\text{C}$ であった。時刻 $t=0$ にヒーターを入れ、一定の電力 $P=500\text{W}$ をすべて水に与え続ける。水の温度が $60{}^{\circ }\text{C}$ に達する時刻は、ヒーターを入れてから何時間後か。有効数字 3 桁で求めよ。

互いに相互作用しない区別できる $N$ 個の 1 次元量子調和振動子（すべて角振動数 $\omega$）が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。各振動子のエネルギー準位は $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、系はカノニカル分布に従うものとする。ボルツマン定数を $k_B$ とする。

この温度 $T$ では、1 個の振動子が基底状態 $n=0$ にある確率がちょうど $\frac{1}{2}$ であった。この温度における系全体の定積熱容量 $C$ を、$N$ と $k_B$ を用いて表せ。

地震のマグニチュード $M$ と、その地震で放出されるエネルギー $E[\text{J}]$ の間には、次の関係があるものとする。
$${\log }_{10}E=4.8+1.5M$$

ある地域で群発地震が発生した。$1$ か月間に発生した地震の回数を規模別に数えると、次の表のようになった。各地震のマグニチュードは表の値ちょうどであるとみなし、表にない地震は考えないものとする。

表の地震すべてで放出されたエネルギーの合計と等しいエネルギーを、$1$ 回の地震で放出したとする。その地震のマグニチュードはいくらか。${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}7=0.85$ を用い、小数第 $2$ 位を四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ。

ある遺跡の地層から木炭が見つかった。木炭に含まれる炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の壊変数を測定すると、$1$ 分間に $3.0$ 回であった。一方、現在生きている植物の炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の壊変数は、$1$ 分間に $15.0$ 回である。

${}^{14}\text{C}$ の半減期を $5.7\times 10^3$ 年とし、次のことを仮定する。

• 木炭のもとになった木が生きていた当時の、炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の量は、現在生きている植物と同じである。
• 木が枯れたあとは、外部との炭素の出入りはない。
• $1$ 分間あたりの壊変数は、そのとき含まれている ${}^{14}\text{C}$ の原子の数に比例する。

この木が枯れたのは今から何年前か。${\log }_{10}2=0.30$ を用いて、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある地点で気球を使って上空の気圧を測定したところ、次の表の結果が得られた。

この地点の上空では、高度が一定の量だけ増えるごとに、気圧は一定の割合で減少するものとする。この関係は表より上の高度でも成り立つとする。

ある高度 $h[\mathrm{km}]$ より上にある大気について、水平面 $1.0{\mathrm{m}}^2$ あたりの質量を求めたところ $2.0\times 10^3\mathrm{kg}$ であった。$h$ は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。

ただし、ある高度での気圧は、その高度より上にある大気の重さによる圧力に等しいとする。重力加速度の大きさは高度によらず $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$1\mathrm{hPa}=100\mathrm{Pa}$ とし、必要なら ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}9.8=0.99$ を用いよ。

ある日、ある地点の上空で気圧を測ったところ、次の結果が得られた。

この表の気圧の減り方が、より高い高度でもそのまま続くものとする。気圧はその高さより上にある大気の重さによって生じると考える。重力加速度の高度による変化と、高度による地球の表面積の変化は無視する（大気は地球の半径に比べて十分薄い層とみなす）。また、大気の状態は地球全体で同じとする。

ある高度より上にある大気の質量が、大気全体の質量の $1.0\%$ になる。この高度は何 km か。${\log }_{10}2=0.30$ として計算し、整数で答えよ。

ある中性の有機化合物 $\mathrm{S}$ は、水と、水と混ざらない有機溶媒との間で分配平衡
$$\mathrm{S}(\mathrm{aq})\rightleftarrows \mathrm{S}(\mathrm{org}),K_{\mathrm{D}}=\frac{[\mathrm{S}{]}_{\mathrm{org}}}{[\mathrm{S}{]}_{\mathrm{aq}}}=6.0$$
にある。$\mathrm{S}$ はどちらの相でも解離・会合・他の化学種との反応をせず、$K_{\mathrm{D}}$ は濃度によらず一定とする。

$\mathrm{S}$ を溶かした水溶液 $100\text{mL}$ に、新しい有機溶媒 $20\text{mL}$ を加えてよく振り混ぜ、分配平衡に達したのち有機相をすべて取り除く操作を 1 回の抽出とする。水相に対してこの抽出を繰り返すとき、最初に水溶液中にあった $\mathrm{S}$ の $99.0\%$ 以上を有機相に抽出するのに必要な抽出の最小回数を求めよ。ただし、抽出の前後で各相の体積は変化せず、2 つの相は完全に分離できるものとする。

$x$ は実数とする。不等式
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(x+2)-1$$
を解け。

$n$ は正の整数とする。${\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ を小数で表したとき、小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れ、しかもその数字が $1$ であるような $n$ をすべて求めよ。ただし、${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

$x$ は実数とする。不等式
$${\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)+{\log }_9(x+5)>-\frac{1}{2}$$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

$n$ は正の整数とする。$12^n$ は $30$ 桁の整数である。このとき、${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ を小数で表すと、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか求めよ。ただし、${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

曲線 $y=(\log x{)}^2(x>0)$ と直線 $y=1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

正の実数 $x,y$ は $x\ne 1,y\ne 1$ を満たし、さらに
$$xy=32,{\log }_{x}4+{\log }_{y}4=\frac{5}{3}$$
を満たしている。このとき、$x+y$ の値を求めよ。

$x$ は正の実数とする。不等式
$$x^{{\log }_{4}x}\geqq 16x$$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

$1$ より大きい実数 $x,y$ が次の $2$ つの等式を満たしている。
$${\log }_2(xy)=10,{\log }_{x}4+{\log }_{y}4=\frac{20}{21}$$
このとき、${\log }_{x}y+{\log }_{y}x$ の値を求めよ。

ある反応の速度定数 $k$ は、アレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがう。ここで $A$ は定数、$E_a$ は活性化エネルギー、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度である。

この反応を $300\text{K}$ で行うとき、ある触媒を加えると、速度定数は触媒を加えないときの $64$ 倍になった。触媒を加えても定数 $A$ は変わらず、活性化エネルギーだけが小さくなるものとすると、触媒によって活性化エネルギーは何 kJ/mol 小さくなったか。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、気体定数は $R=8.3\text{J/(K}\cdot \text{mol)}$、${\log }_{e}2=0.69$ とする。

ある気体反応の速度定数 $k$ は、絶対温度 $T$ に対してアレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、$E_a$ は活性化エネルギー（温度によらず一定）、$R$ は気体定数である。

この反応の速度定数を 2 つの温度で測定し、その常用対数 ${\log }_{10}k$ を求めたところ、$T=400\text{K}$ で ${\log }_{10}k=-2.00$、$T=500\text{K}$ で ${\log }_{10}k=0.00$ であった（$k$ の単位はどちらも同じである）。

この反応の活性化エネルギー $E_a$ は何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、気体定数は $R=8.3\text{J/(K}\cdot \text{mol)}$、${\log }_{e}10=2.3$ とする。

水溶液中で進むある反応について、反応温度を $27^{\circ }\text{C}$ から $37^{\circ }\text{C}$ に上げたところ、速度定数がちょうど $2$ 倍になった。速度定数 $k$ はアレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがうものとする。ここで $A$ は温度によらない定数、$E_a$ は活性化エネルギー、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度であり、$E_a$ も温度によらないものとする。

この反応の活性化エネルギー $E_a$ は何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、絶対温度は $T[\text{K}]=t{[}^{\circ }\text{C}]+273$ で換算し、$R=8.3\text{J/(K}\cdot \text{mol)}$、${\log }_{e}2=0.69$ とする。

確率変数 $X$ は $\{0,1,2\}$ に値をとり、
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{4},P(X=2)=\frac{1}{4}$$
に従う。$X$ と独立な確率変数 $Z$ は $\{-1,0,1\}$ に値をとり、
$$P(Z=-1)=\frac{1}{4},P(Z=0)=\frac{1}{2},P(Z=1)=\frac{1}{4}$$
に従う。$Y$ を $X+Z$ を $4$ で割った余り（$Y\in \{0,1,2,3\}$）とする。対数の底を $2$ とするとき、相互情報量 $I(X;Y)$ を求めよ。

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

十分に長い円管（外半径 $2.0\text{cm}$）の外側を、2 種類の保温材 P, Q でそれぞれ厚さ $2.0\text{cm}$ ずつ、2 層に重ねて覆う。保温材 P の熱伝導率は $k$、保温材 Q の熱伝導率は $2k$ であり、どちらも温度によらず一定とする。重ね方として次の 2 通りを考える。

• 配置 X: 内側の層（半径 $2.0\text{cm}$ から $4.0\text{cm}$）が P、外側の層（半径 $4.0\text{cm}$ から $6.0\text{cm}$）が Q
• 配置 Y: 内側の層が Q、外側の層が P（層の半径は配置 X と同じ）

どちらの配置でも、保温材の内面（円管の外面）の温度は $T_1$、保温材の最も外側の面の温度は $T_2$（$T_1>T_2$）に一定に保たれている。熱は定常状態で半径方向にだけ伝導し、2 つの層の間の接触熱抵抗は無視できるものとする。

管の単位長さあたりに保温材を通って流れる熱流量を、配置 X のとき $q_X$、配置 Y のとき $q_Y$ とする。比 $\frac{q_X}{q_Y}$ を、自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。

袋の中に赤玉 $2$ 個と白玉 $2$ 個が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ $2$ 回、取り出した玉をもとに戻さずに取り出す。どの玉も同じ確率で取り出されるものとする。

$1$ 回目に取り出した玉の色を $X$、$2$ 回目に取り出した玉の色を $Y$ とする（$X,Y$ はそれぞれ「赤」「白」のどちらかの値をとる確率変数）。

$X$ と $Y$ の相互情報量 $I(X;Y)$ を求めよ。ただし、エントロピーの対数の底は $2$ とする。

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。

入力範囲が $-V$ から $V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（$N$ は正の整数）でアナログ信号を量子化する。量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ であり、量子化誤差は区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、信号と無相関であるとする。

この量子化器に、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波 $x(t)=\frac{V}{2}\sin (2\pi f_{0}t)$ を入力する（入力範囲を超えることはない）。正弦波の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とするとき、SQNR が $90\text{dB}$ 以上になるような最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

入力範囲が $-V\le v\le V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（量子化レベルの数 $2^N$、量子化幅 $\Delta =\frac{2V}{2^N}$）で、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波信号を量子化する。$N$ は正の整数とする。

量子化誤差は $-\frac{\Delta }{2}$ から $\frac{\Delta }{2}$ の範囲に一様に分布し、信号と無相関であるとみなす（このとき量子化雑音の平均電力は $\frac{{\Delta }^2}{12}$ である）。信号の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とする。

SQNR が $70\text{dB}$ 以上になる最小の $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

25 °C で、酢酸 $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{COOH}$ を $0.120\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$、酢酸ナトリウム $\mathrm{C}{\mathrm{H}}_3\mathrm{COONa}$ を $0.0800\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ 含む緩衝液 $1.00\mathrm{L}$ がある。この緩衝液に固体の水酸化ナトリウム $\mathrm{NaOH}$ を少しずつ加えて溶かし、pH を最初の値からちょうど $0.50$ だけ上昇させたい。加える $\mathrm{NaOH}$ の物質量は何 mol か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、$\mathrm{NaOH}$ は加えた分だけ酢酸と完全に中和反応し、溶液の体積変化は無視できるものとする。また、活量係数はすべて 1 とし、溶液中の $[{\mathrm{H}}^{+}]$ と $[\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{-}]$ は酢酸および酢酸イオンの濃度に比べて十分小さく、酢酸の電離と酢酸イオンの加水分解による濃度変化は無視できるものとする。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$${\log }_2(x-1)+{\log }_2(5-x)=2{\log }_2(x-a)$$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a,b,c$ は $1$ でない正の実数で、
$${\log }_{a}b={\log }_{b}c={\log }_c\left(a^{6}b\right)$$
が成り立っている。このとき、${\log }_{ab}c$ の値を求めよ。

$n$ は正の整数とする。$3^n$ の桁数が $2^n$ の桁数よりちょうど $10$ 大きくなるような $n$ をすべて求めよ。ただし、${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ とする。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${ϵ}_0$、光速 $c$）に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様で一定の磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)(B>0)$ がある。この中を、質量 $m$、電荷 $-e(e>0)$ の電子がらせん運動している。時刻 $t=0$ で、電子の速度と磁場のなす角（ピッチ角）は $60^{\circ }$ であった。

電子の速さは常に $c$ より十分小さく、非相対論的に扱ってよい。電子は加速度運動によって電磁波を放射し、その放射の仕事率はラーモアの公式
$$P=\frac{e^2|\mathbf{a}{|}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$
で与えられる（$\mathbf{a}$ は電子の加速度）。1 周期あたりに失われるエネルギーは運動エネルギーに比べて十分小さく、各瞬間の運動はらせん運動とみなせるものとし、電子の運動エネルギーは放射されたエネルギーの分だけ減少するものとする。また、放射の反作用は速度の磁場に平行な成分を変えないものとする。重力および電子が受けるその他の力は無視する。

ピッチ角が $45^{\circ }$ になる時刻 $t$ を、${ϵ}_0,c,m,e,B$ を用いて表せ。

ある火成岩から、2 種類の鉱物 A, B を取り出した。これらの鉱物には、次の 3 種類の同位体が含まれている。

• 放射性同位体 P（半減期 $1.5\times 10^9$ 年）
• P が壊変してできる安定な同位体 D（P 1 個が壊変すると D が 1 個できる）
• D と同じ元素の安定な同位体 S（壊変によってつくられることも、壊変することもない）

鉱物 A, B は同じマグマから同時に結晶した。D と S は同じ元素の同位体で化学的な性質が同じなので、結晶したときの D と S の個数比は鉱物 A と B で等しかった。ただし、その比の値はわかっていない。一方、P は D, S と別の元素なので、P と S の個数比は鉱物 A と B で異なっていた。結晶してから現在まで、どちらの鉱物でも P, D, S の出入りはなかったものとする。

現在の鉱物 A, B に含まれる各同位体の個数比を測定したところ、次の表のようになった。

この火成岩ができた（鉱物 A, B が結晶した）のは現在から何億年前か。整数で答えよ。必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

$a>1$, $b>1$ を満たす実数 $a$, $b$ が
$${\log }_{a}b={\log }_b(ab)$$
を満たしている。このとき、${\log }_{ab}\left(a^2{b}^3\right)$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ は $x>1,y>1$ を満たし、さらに
$$x^{{\log }_{2}y}=64,xy\leqq 128$$
を満たすとする。このとき、
$${\log }_{xy}\left(x^2{y}^3\right)$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

不等式
$${\log }_{x}4+{\log }_{2x}2\geqq {\log }_{4x}8$$
を満たす実数 $x$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x$ についての不等式
$${\log }_{\sqrt{2}}(x+1)-{\log }_{x+1}16\le 2$$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

$n$ は正の整数とする。$12^n$ が $(n+3)$ 桁の整数であり、かつ $12^n$ の最高位の数字が $1$ であるような $n$ をすべて求めよ。ただし、${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ として計算せよ。

$x$ は $x>0$ かつ $x\ne 1$ を満たす実数とする。不等式
$${\log }_4{x}^2+{\log }_{\sqrt{x}}8<5$$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=x-a\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$a>1$ のとき、$f(x)$ は極大値と極小値をちょうど $1$ つずつもつ。$f(x)$ の極大値から極小値を引いた差が $\frac{2}{e}$ となるような $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$({\log }_{2}x{)}^2+a{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2+a+2=0$$
が $1\leqq x\leqq 8$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

座標平面上の曲線
$$C:y=\log \frac{e^x+1}{e^x-1}(x>0)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。曲線 $C$ のうち、$\log 2\leqq y\leqq \log 3$ を満たす部分の長さ $L$ を求めよ。

容積が一定の密閉容器に五酸化二窒素 ${\text{N}}_2{\text{O}}_5$ だけを入れ、温度を $45^{\circ }\text{C}$ に保つと、次の反応が進む。
$$2{\text{N}}_2{\text{O}}_5⟶4{\text{NO}}_2+{\text{O}}_2$$
この反応は ${\text{N}}_2{\text{O}}_5$ について一次反応であり、$45^{\circ }\text{C}$ における ${\text{N}}_2{\text{O}}_5$ の半減期は $20$ 分である。

反応開始時（時刻 $0$）の容器内の圧力を $P_0$ とする。容器内の全圧が $2.0P_0$ になるのは、反応開始から何分後か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、気体はすべて理想気体とみなし、逆反応および ${\text{NO}}_2$ の二量化（${\text{N}}_2{\text{O}}_4$ の生成）などほかの反応は起こらないものとする。必要なら ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}3=0.48$ を用いよ。

ある反応の速度定数 $k$ は、アレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、$E_a$ は活性化エネルギー、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度である。

この反応の速度定数を測定したところ、$330\text{K}$ における速度定数は $300\text{K}$ における速度定数の $4.0$ 倍であった。この反応の活性化エネルギー $E_a$ は何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、$E_a$ は温度によらず一定とし、気体定数は $R=8.3\text{J}/(\text{K}\cdot \text{mol})$、${\log }_{e}2=0.69$ とする。

ある化合物 X の分解反応は一次反応であり、その速度定数 $k$ は絶対温度 $T$ に対してアレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、$E_a$ は活性化エネルギー（温度によらず一定）、$R$ は気体定数である。

この反応の X の半減期を測定したところ、$300\text{K}$ では $96\text{min}$、$320\text{K}$ では $12\text{min}$ であった。X の半減期が $3.0\text{min}$ になる絶対温度は何 K か。有効数字 3 桁で答えよ。

ただし、一次反応の半減期 $t_{1/2}$ と速度定数 $k$ の間には $t_{1/2}=\frac{{\log }_{e}2}{k}$ の関係がある。

ある反応の速度定数 $k$ は、アレニウスの式
$$k=A{e}^{-\frac{E_a}{RT}}$$
にしたがう。ここで $A$ は定数、$E_a$ は活性化エネルギー、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度である。

触媒がないとき、この反応の速度定数は、$330\text{K}$ では $300\text{K}$ のときの $8$ 倍であった。次に、ある触媒を加えて $300\text{K}$ で反応させたところ、速度定数は、触媒がないときの $330\text{K}$ での速度定数と等しくなった。

触媒を加えたときのこの反応の活性化エネルギーは何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、$A$ は温度によらず、触媒の有無によっても変わらないものとし、触媒のある・なしのそれぞれで活性化エネルギーは温度によらないものとする。また、$R=8.3\text{J/(K}\cdot \text{mol)}$、${\log }_{e}2=0.69$ とする。

$t$ を時間とし、$x(t)>0,y(t)>0$ に対する連立微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2y),\frac{dy}{dt}=y(x-3)$$
を考える。初期条件 $x(0)=3,y(0)=2\log 2$ を満たす解は周期解であり、その軌道は第 1 象限内の閉曲線になる。この軌道上での $y$ の最大値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

時刻 $t$（単位は年、$t\ge 0$）における利力（瞬間的な利率）が
$$\delta (t)=\frac{2}{20+t}$$
で与えられる市場を考える。すなわち、時刻 $t$ の金額 $1$ の時刻 $0$ における現価は $v(t)=\exp \left(-{\int }_0^t\delta (s)ds\right)$ である。

この市場で、$0\le t\le 20$ の間、時刻 $t$ において年あたり $t$ 万円の割合で連続的に支払われる年金（時刻 $t$ から $t+dt$ の間に $tdt$ 万円が支払われる）がある。この年金の時刻 $0$ における現価（万円）を求めよ。

入力アルファベット・出力アルファベットがともに $\{0,1\}$ の離散無記憶通信路で、入力 $X$ と出力 $Y$ の条件付き確率が
$$P(Y=0\mid X=0)=1,P(Y=1\mid X=0)=0,P(Y=0\mid X=1)=\frac{1}{2},P(Y=1\mid X=1)=\frac{1}{2}$$
で与えられるもの（$0$ は必ず正しく届き、$1$ は確率 $\frac{1}{2}$ で $0$ に化ける通信路）を考える。

この通信路の通信路容量 $C=\underset{P_X}{\max }I(X;Y)$（最大値は入力分布 $P_X$ 全体でとる）を求めよ。ただし、エントロピー・相互情報量の対数の底は $2$ とする。

$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立な確率変数で、それぞれ $P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{2}$ $(k=1,2,3)$ に従う。この $3$ つの多数決
$$Z=\{\begin{array}{ll}1& (X_1+X_2+X_3\ge 2)\\ 0& (X_1+X_2+X_3\le 1)\end{array}$$
を考える（$X_1+X_2+X_3$ は整数としての和）。

$Z$ を与えたときの $X_1$ と $X_2$ の条件付き相互情報量 $I(X_1;X_2\mid Z)$ を求めよ。ただし、対数の底は $2$ とする（単位はビット）。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。

帯域 $0\sim 4\text{kHz}$ の音声信号を、オーバーサンプリングを用いた A/D 変換器でディジタル化する。条件は次のとおりである。

• A/D 変換器は $N$ ビット（$N$ は正の整数）の一様量子化器で、入力範囲は $-V\sim V$、量子化ステップは $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ である。量子化誤差は信号と無相関で $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、その電力 $\frac{{\Delta }^2}{12}$ は $0\sim \frac{f_s}{2}$ の周波数範囲に一様に（白色に）分布するとする。標本化周波数は $f_s=256\text{kHz}$ である。
• 入力信号は振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波（周波数は $4\text{kHz}$ 未満）で、過負荷は起こらない。
• A/D 変換器の入力には、信号と無相関なアナログの白色雑音も含まれている。この雑音の電力は $0\sim 128\text{kHz}$ に一様に分布しており、この全帯域で測った信号対雑音比（量子化雑音を含まない）は $70\text{dB}$ である。
• A/D 変換後、遮断周波数 $4\text{kHz}$ の理想ディジタル低域通過フィルタ（通過域の利得 $1$）で $4\text{kHz}$ を超える成分をすべて取り除く。アナログ雑音と量子化雑音は互いに無相関とする。

フィルタ出力での信号対雑音比（アナログ雑音と量子化雑音の両方を含む）を $80\text{dB}$ 以上にするために必要な最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いてよい。

ヘリウム・ネオンレーザーの波長 ${\lambda }_0=632.8\text{nm}$ の発振を考える。共振器は、反射率（光の強度に対する反射率）$R_1=0.998$, $R_2=0.982$ の 2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.500\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー共振器で、その中に長さ $l=0.400\text{m}$ の放電管（利得媒質）が置かれている。共振器内の屈折率はすべて $1$ とし、鏡の透過以外の損失（吸収・散乱・回折など）は無視する。

利得媒質の小信号利得係数 $g(\nu )$ は、光の強度が媒質中を距離 $z$ 進むと $e^{g(\nu )z}$ 倍になるように定義し、ネオン原子の熱運動によるドップラー広がりで決まるガウス型
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_D{)}^2}\right]$$
で表されるものとする。ここで ${\nu }_0=c/{\lambda }_0$ は線の中心振動数、$g_0=0.100{\text{m}}^{-1}$ は中心での利得係数、$\Delta {\nu }_D$ は半値全幅（ドップラー幅）で、温度 $T$、原子の質量 $M$ の気体では
$$\Delta {\nu }_D={\nu }_0\sqrt{\frac{8k_{B}T\log 2}{M{c}^2}}$$
である。ネオン原子の質量を $M=20.18\text{u}$（$1\text{u}=1.661\times 10^{-27}\text{kg}$）、放電管内の気体の温度を $T=400\text{K}$、ボルツマン定数を $k_B=1.381\times 10^{-23}\text{J/K}$、真空中の光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器の縦モードのうち 1 つの振動数がちょうど ${\nu }_0$ に一致しているものとする。また、利得は不均一広がりなので、各縦モードはそれぞれの振動数での小信号利得が往復の損失を上回れば（すなわち、1 往復での強度の増幅率が $1$ を超えれば）独立に発振するものとし、横モードは基本モードだけを考える。このとき発振する縦モードの数を求めよ。

ある火成岩に含まれる鉱物 M には、放射性同位体 P と、P が壊変してできる安定な同位体 D が含まれている。P の半減期は $7.0\times 10^8$ 年であり、P は壊変すると 1 個につき D を 1 個つくる。

鉱物 M はマグマが冷えて結晶になったときに P と D の両方を取り込んでおり、結晶になった時点での D の原子数は P の原子数の $0.50$ 倍であったことが、別の方法からわかっている。結晶になったあと、鉱物 M に P や D が出入りすることはなかったとする。

現在、この鉱物 M に含まれる D の原子数を測定したところ、P の原子数の $3.5$ 倍であった。この火成岩ができた（鉱物 M が結晶になった）のは何年前か。${\log }_{10}2=0.30$, ${\log }_{10}3=0.48$ を用い、有効数字 2 桁で求めよ。

ある品目の需要は一定の速さ $D>0$（単位時間あたりの個数）で連続的に生じるとする。品切れは許さず、発注した品物は直ちに届く（リードタイム $0$）。1 回の発注ごとに固定費 $K>0$ がかかり、在庫 1 個を単位時間保管するごとに保管費 $h>0$ がかかる。正の実数 $T$ に対し、「在庫がちょうど $0$ になった時刻ごとに $DT$ 個を発注する」方策（発注間隔 $T$ の方策）の単位時間あたりの平均費用（1 周期 $[0,T]$ の発注費と保管費の和を $T$ で割ったもの）を $C(T)$ とし、$C(T)$ を最小にする $T$ を $T^{\ast }$ とする。

いま、発注間隔は基準時間 $T_B>0$ の $2^k$ 倍（$k$ は整数）に限るとする。どのような $D,K,h,T_B$ に対しても、ある整数 $k$ が存在して
$$\frac{C(2^k{T}_B)}{C(T^{\ast })}\le \frac{3}{2\sqrt{2}}$$
が成り立つことを証明せよ（$T^{\ast }$ が存在することも示すこと）。

$2$ 以上 $1000$ 以下の整数 $a$, $b$ の順序のついた組 $(a,b)$ のうち、${\log }_{a}b$ が有理数となるものの個数を求めよ。ただし、$a=b$ となる組も数える。