反応速度の問題

難易度 3共通テストレベル高校化学反応速度

ある気体反応の速度定数 $k$ は、絶対温度 $T$ に対してアレニウスの式
$k = A e^{- \frac{E _{a}}{R T}}$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、 $E_{a}$ は活性化エネルギー（温度によらず一定）、 $R$ は気体定数である。

この反応の速度定数を 2 つの温度で測定し、その常用対数 $lo g_{10} k$ を求めたところ、 $T = 400 K$ で $lo g_{10} k = - 2.00$ 、 $T = 500 K$ で $lo g_{10} k = 0.00$ であった（ $k$ の単位はどちらも同じである）。

この反応の活性化エネルギー $E_{a}$ は何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 J/(K \cdot mol)$ 、 $lo g_{e} 10 = 2.3$ とする。

この問題で使うもの

2 つの温度での速度定数と活性化エネルギー（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

アレニウスの式の対数をとり、2 つの温度の式の差をとって $A$ を消去しよう。

ヒント 2

$lo g_{e} k = 2.3 lo g_{10} k$ と書き換えると、 $2.3 (lo g_{10} k_{2} - lo g_{10} k_{1}) = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ が成り立つ。

ヒント 3

$lo g_{10} k_{2} - lo g_{10} k_{1} = 2.00$ 、 $\frac{1}{400} - \frac{1}{500} = 5.0 \times 1 0^{- 4}$ である。単位を J/mol から kJ/mol に直すのを忘れずに。

答えと解説

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7.6 \times 1 0^{1}

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解説を読む

アレニウスの式の両辺の自然対数をとると
$lo g_{e} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$
$lo g_{e} k = lo g_{e} 10 \times lo g_{10} k = 2.3 lo g_{10} k$ なので
$2.3 lo g_{10} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$

$T_{1} = 400 K$ 、 $T_{2} = 500 K$ での式の差をとると、 $A$ が消えて（ $A$ と $E_{a}$ は温度によらない）
$2.3 (lo g_{10} k_{2} - lo g_{10} k_{1}) = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$

値を代入すると
$lo g_{10} k_{2} - lo g_{10} k_{1} = 0.00 - (- 2.00) = 2.00$
$\frac{1}{400} - \frac{1}{500} = \frac{5 - 4}{2000} = 5.0 \times 1 0^{- 4} K^{- 1}$
よって
$E_{a} = \frac{2.3 \times 2.00 \times R}{5.0 \times 1 0 ^{- 4}} = \frac{2.3 \times 2.00 \times 8.3}{5.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 7.636 \times 1 0^{4} J/mol ≒ 76 kJ/mol$
したがって、有効数字 2 桁で $7.6 \times 10 kJ/mol$ である。

別解

$lo g_{e} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$ より、2 温度の差をとると $lo g_{e} \frac{k _{500}}{k _{400}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{400} - \frac{1}{500}) = \frac{E _{a}}{R} \cdot \frac{1}{2000}$ 。
$lo g_{10} \frac{k _{500}}{k _{400}} = 0.00 - (- 2.00) = 2.00$ なので $\frac{k _{500}}{k _{400}} = 1 0^{2}$ 、 $lo g_{e} 1 0^{2} = 2 \times 2.3 = 4.6$ 。
$E_{a} = 4.6 \times 2000 \times R = 4.6 \times 2000 \times 8.3 = 76360$ J/mol $\approx 76$ kJ/mol。
検算: $76360/ (8.3 \times 2000) = 4.6$ で、 $e^{4.6} \approx 1 0^{2}$ と一致。

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