反応速度の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校化学反応速度

ある反応の速度定数 $k$ は、アレニウスの式
$k = A e^{- \frac{E _{a}}{R T}}$
にしたがう。ここで $A$ は温度によらない定数、 $E_{a}$ は活性化エネルギー、 $R$ は気体定数、 $T$ は絶対温度である。

この反応の速度定数を測定したところ、 $330 K$ における速度定数は $300 K$ における速度定数の $4.0$ 倍であった。この反応の活性化エネルギー $E_{a}$ は何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、 $E_{a}$ は温度によらず一定とし、気体定数は $R = 8.3 J / (K \cdot mol)$ 、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とする。

この問題で使うもの

2 つの温度での速度定数と活性化エネルギー（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 つの温度での速度定数の比をとると、定数 $A$ が消えます。

ヒント 2

比をとって自然対数をとると $lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ になります。

ヒント 3

$\frac{1}{300} - \frac{1}{330} = \frac{1}{3300}$ 、 $lo g_{e} 4.0 = 2 lo g_{e} 2 = 1.38$ です。これらを代入して $E_{a}$ を J/mol で求め、kJ/mol に直しましょう。

答えと解説

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38

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解説を読む

速度定数の比をとる

$300 K$ 、 $330 K$ での速度定数をそれぞれ $k_{1}$ 、 $k_{2}$ とすると、アレニウスの式より
$k_{1} = A e^{- \frac{E _{a}}{300 R}}, k_{2} = A e^{- \frac{E _{a}}{330 R}}$
比をとると $A$ が消えて
$\frac{k _{2}}{k _{1}} = e^{\frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{300} - \frac{1}{330})}$

両辺の自然対数をとる

$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{300} - \frac{1}{330})$
ここで
$\frac{1}{300} - \frac{1}{330} = \frac{330 - 300}{300 \times 330} = \frac{30}{99000} = \frac{1}{3300}$
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = lo g_{e} 4.0 = 2 lo g_{e} 2 = 2 \times 0.69 = 1.38$

活性化エネルギー

$E_{a} = R \times 1.38 \times 3300 = 8.3 \times 1.38 \times 3300 ≒ 3.78 \times 1 0^{4} J/mol$
よって
$E_{a} ≒ 37.8 kJ/mol$

有効数字 2 桁で $38 kJ/mol$ 。

別解

$T_{1} = 300 K$ 、 $T_{2} = 330 K$ のときの速度定数を $k_{1}, k_{2}$ とする。アレニウスの式の自然対数をとると $lo g_{e} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$ 。

2 つの温度の差をとると
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$
$\frac{1}{300} - \frac{1}{330} = \frac{330 - 300}{300 \times 330} = \frac{30}{99000} = \frac{1}{3300}$ である。

$\frac{k _{2}}{k _{1}} = 4.0$ より $lo g_{e} 4.0 = 2 lo g_{e} 2 = 2 \times 0.69 = 1.38$ 。したがって
$E_{a} = R \times 3300 \times lo g_{e} 4.0 = 8.3 \times 3300 \times 1.38 = 37798 J/mol \approx 3.8 \times 1 0^{4} J/mol$
よって $E_{a} \approx 38 kJ/mol$ 。

検算: $E_{a} = 37.8 kJ/mol$ のとき $\frac{E _{a}}{R} \cdot \frac{1}{3300} = \frac{37798}{8.3 \times 3300} = 1.38 = lo g_{e} 4.0$ となり、条件と一致する。

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