反応速度の問題

難易度 3共通テストレベル高校化学反応速度

水溶液中で進むある反応について、反応温度を $2 7^{\circ} C$ から $3 7^{\circ} C$ に上げたところ、速度定数がちょうど $2$ 倍になった。速度定数 $k$ はアレニウスの式
$k = A e^{- \frac{E _{a}}{R T}}$
にしたがうものとする。ここで $A$ は温度によらない定数、 $E_{a}$ は活性化エネルギー、 $R$ は気体定数、 $T$ は絶対温度であり、 $E_{a}$ も温度によらないものとする。

この反応の活性化エネルギー $E_{a}$ は何 kJ/mol か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、絶対温度は $T [K] = t [^{\circ} C] + 273$ で換算し、 $R = 8.3 J/(K \cdot mol)$ 、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ とする。

この問題で使うもの

2 つの温度での速度定数と活性化エネルギー（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

アレニウスの式の両辺の自然対数をとり、2 つの温度での式の差をとると、定数 $A$ を消去できる。

ヒント 2

$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ を使う。温度は絶対温度に直すこと。

ヒント 3

$T_{1} = 300 K$ 、 $T_{2} = 310 K$ で、 $\frac{1}{300} - \frac{1}{310} = \frac{1}{9300}$ である。 $0.69 = \frac{E _{a}}{8.3} \times \frac{1}{9300}$ を $E_{a}$ について解こう（単位は J/mol になる）。

答えと解説

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解説を読む

絶対温度に換算すると、 $2 7^{\circ} C$ は $300 K$ 、 $3 7^{\circ} C$ は $310 K$ である。

アレニウスの式の両辺の自然対数をとると
$lo g_{e} k = lo g_{e} A - \frac{E _{a}}{R T}$
となる。 $300 K$ 、 $310 K$ での速度定数をそれぞれ $k_{1}$ 、 $k_{2}$ として 2 式の差をとると、 $A$ は温度によらないので消えて
$lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{300} - \frac{1}{310})$

ここで $\frac{k _{2}}{k _{1}} = 2$ より左辺は $lo g_{e} 2 = 0.69$ 、また
$\frac{1}{300} - \frac{1}{310} = \frac{310 - 300}{300 \times 310} = \frac{10}{93000} = \frac{1}{9300}$
であるから
$0.69 = \frac{E _{a}}{8.3} \times \frac{1}{9300}$
$E_{a} = 0.69 \times 8.3 \times 9300 = 53261 (J/mol)$

よって $E_{a} ≒ 53 kJ/mol$ である。

別解

絶対温度は $T_{1} = 27 + 273 = 300 K$ 、 $T_{2} = 37 + 273 = 310 K$ 。

アレニウスの式より $lo g_{e} \frac{k _{2}}{k _{1}} = \frac{E _{a}}{R} (\frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}})$ 。 $\frac{k _{2}}{k _{1}} = 2$ なので

$0.69 = \frac{E _{a}}{8.3} (\frac{1}{300} - \frac{1}{310}) = \frac{E _{a}}{8.3} \cdot \frac{1}{9300}$ 。

よって $E_{a} = 0.69 \times 8.3 \times 9300 = 5.727 \times 9300 = 53261 J/mol \approx 5.3 \times 1 0^{1} kJ/mol$ 。

検算: $E_{a} = 53261$ を代入すると $\frac{53261}{8.3 \times 9300} = \frac{53261}{77190} = 0.690$ となり、 $lo g_{e} 2 = 0.69$ と一致する。

有効数字 2 桁で $53$ kJ/mol。

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