数列の極限

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{2n^3+5}$$

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{n^3+5n}$$

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{2n^3+1}$$

区間 $(0,1]$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。関数 $f:(0,1]\to \mathbb{R}$ を、正の整数 $n$ に対して
$$f(x)=n\left(2^{-n}<x\le 2^{-n+1}\right)$$
で定める。ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1]}fd\lambda$$
の値を求めよ。

有界な複素数列 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}$ 全体のなす複素バナッハ空間 ${\ell }^{\infty }$ を、ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{k\ge 1}|x_k|$ で考える。作用素 $T:{\ell }^{\infty }\to {\ell }^{\infty }$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=\frac{3(k+1)}{k}{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める（重み $w_k=\frac{3(k+1)}{k}$ 付きの右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

実数 $x$ に対して、べき級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n\cdot 3^n}$$
が収束するような $x$ の範囲を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$x$ についての 2 次方程式
$$x^2-2nx-3n=0$$
の正の解を $x_n$ とする。極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(2x_n-4n-3\right)$$
を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-5$ の正の実数解を $\alpha =\sqrt[3]{5}$ とする。初期値 $x_0=2$ からニュートン法 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$ で数列 $\{x_n\}$ を定めると、すべての $n$ について $x_n>\alpha$ であり、$x_n\to \alpha$ $(n\to \infty )$ となる。このとき、極限 $$C=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^2}$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

$n$ を正の整数とし、
$$T_n=\sum _{k=1}^n\frac{n^2}{n^3+k^2}$$
とおく。極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(1-T_n\right)$$
を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$x$ についての方程式
$$x^n+x^{n-1}+\cdots +x^2+x=1$$
は正の実数解をただ $1$ つもつ。この解を $x_n$ とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n\left(x_n-\frac{1}{2}\right)$$
を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を
$$a_1=\frac{5}{2},a_{n+1}=a_n^2-3a_n+4(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n-1}$$
の和を求めよ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\sum _{k=1}^n\left[\sqrt{k}\right]=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\cdots +\left[\sqrt{n}\right]$$
とおく。極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{n\sqrt{n}}$$
を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n(n+1)}$$
は収束し、その和が $\frac{{\pi }^2}{6}$ であることを証明せよ。ただし、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ であること、および $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ であることは用いてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、時刻 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n$ にそれぞれ正の金額 $c_1,c_2,\dots ,c_n$ が支払われる債券を考える。連続複利の利回り $y\in \mathbb{R}$ に対して、この債券の価格を
$$P(y)=\sum _{k=1}^n{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
とし、マコーレー・デュレーションを
$$D(y)=\frac{1}{P(y)}\sum _{k=1}^n{t}_k{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
で定める。このとき、関数 $D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調減少であり、その値域は開区間 $(t_1,t_n)$ に一致することを証明せよ。

ただし、微分可能な関数についての平均値の定理と中間値の定理は用いてよい。

$S>0$, $K>0$, $T>0$, $r\in \mathbb{R}$ を定数とする。標準正規分布の密度関数と分布関数を
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (u)du$$
とし、ボラティリティ $\sigma >0$ に対するヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ価格を
$$C(\sigma )=S\Phi (d_1)-K{e}^{-rT}\Phi (d_2),d_1=\frac{\log (S/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で定める。$L=\max \{S-K{e}^{-rT},0\}$ とおくとき、写像 $\sigma \mapsto C(\sigma )$ は区間 $(0,\infty )$ から開区間 $(L,S)$ への全単射であることを証明せよ（すなわち、$(L,S)$ に属する各価格 $c$ に対して $C(\sigma )=c$ となるインプライド・ボラティリティ $\sigma >0$ がちょうど 1 つ存在し、$C$ の値はすべて $(L,S)$ に属する）。

ただし、$\Phi$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で ${\Phi }^{\prime }=\phi$ であること、$\underset{x\to -\infty }{\lim }\Phi (x)=0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\Phi (x)=1$, $\Phi (0)=\frac{1}{2}$ であること、および平均値の定理・中間値の定理は用いてよい。

$d$ を正の整数とし、$X=[0,1{]}^d$ に最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le d}|x_i|$ から定まる距離を入れる。$L\ge 1$ を実数とし、写像 $f:X\to X$ はすべての $x,y\in X$ に対して
$$\Vert f(x)-f(y){\Vert }_{\infty }\le L\Vert x-y{\Vert }_{\infty }$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して
$$d_n(x,y)=\underset{0\le k\le n-1}{\max }\Vert f^k(x)-f^k(y){\Vert }_{\infty }$$
とおき（$f^0$ は恒等写像）、$\epsilon >0$ に対し、相異なる任意の 2 点 $x,y\in E$ が $d_n(x,y)>\epsilon$ を満たす有限集合 $E\subset X$ を $(n,\epsilon )$-分離集合という。$(n,\epsilon )$-分離集合の元の個数の最大値を $s(n,\epsilon )$ とし、$f$ の位相エントロピーを
$$h_{\mathrm{top}}(f)=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log s(n,\epsilon )$$
で定める（$s(n,\epsilon )$ が有限であることと、この極限が $[0,\infty ]$ の中に存在することは、証明の中で確かめること）。

$h_{\mathrm{top}}(f)\le d\log L$ が成り立つことを証明せよ。