極限の問題

手順1：分子を $n$ の式で表す。

$\sum$ の公式 $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を使うと
$$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$$
となる。よって
$$\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{2n^3+1}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6(2n^3+1)}$$
である。

手順2：不定形であることを確認する。

$n\to \infty$ のとき、分子も分母も $\infty$ に発散するので、このままでは $\frac{\infty }{\infty }$ の不定形で極限がわからない。

手順3：分母の最高次の項 $n^3$ で分子・分母を割る。
$$\frac{2n^3+3n^2+n}{6(2n^3+1)}=\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6\left(2+\frac{1}{n^3}\right)}$$

手順4：極限を求める。

$n\to \infty$ のとき $\frac{3}{n}\to 0,\frac{1}{n^2}\to 0,\frac{1}{n^3}\to 0$ であるから
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6\left(2+\frac{1}{n^3}\right)}=\frac{2+0+0}{6(2+0)}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

よって、求める極限値は $\frac{1}{6}$ である。

$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ なので、
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(2n^3+1)}$$
分子・分母を $n^3$ で割ると
$$\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6(2+\frac{1}{n^3})}$$
$n\to \infty$ のとき、分子は $1\cdot 2=2$、分母は $6\cdot 2=12$ に近づくので、極限値は $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
検算：$n=1000$ のとき、和は約 $3.34\times 10^8$、分母は約 $2\times 10^9$ で、比は約 $0.167$ となり $\frac{1}{6}$ に一致する。