極限の問題

手順 1：分子を $n$ の式で表す。

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を使うと、
$$\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3+5n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+5n)}$$
となります。

手順 2：不定形であることを確認する。

$n\to \infty$ のとき、分子も分母も $\infty$ に発散するので、このままでは極限がわからない $\frac{\infty }{\infty }$ 型の不定形です。

手順 3：分母の最高次の項 $n^3$ で分子・分母を割る。

分子 $n(n+1)(2n+1)$ は $n$ の 3 次式なので、分子・分母を $n^3$ で割ります。分子は $n\cdot n\cdot n$ で割ると考えて
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}=1\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right),\frac{6(n^3+5n)}{n^3}=6\left(1+\frac{5}{n^2}\right)$$
よって
$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+5n)}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6\left(1+\frac{5}{n^2}\right)}$$

手順 4：極限を求める。

$n\to \infty$ のとき $\frac{1}{n}\to 0$、$\frac{5}{n^2}\to 0$ なので、
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{6\left(1+\frac{5}{n^2}\right)}=\frac{1\cdot 2}{6\cdot 1}=\frac{1}{3}$$

したがって、求める極限値は $\frac{1}{3}$ です。

$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ なので、分子分母を $n^3$ で割ると
$$\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3+5n}=\frac{\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{1+\frac{5}{n^2}}$$
$n\to \infty$ のとき分子は $\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{3}$、分母は $1$ に近づくので、極限値は $\frac{1}{3}$。
検算：$n=100$ のとき、分子は $338350$、分母は $1000500$。比は約 $0.3382$ で、$\frac{1}{3}$ に近い。