極限

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{2n^3+5}$$

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{n^3+5n}$$

$n$ を正の整数とする。次の極限値を求めよ。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2}{2n^3+1}$$

次の無限等比級数は収束する。その和を求めよ。$$6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots$$

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。$$9-6+4-\frac{8}{3}+\cdots$$

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。$$6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-x-6}{x^2-9}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$$

次の極限値を求めよ。ただし、$x$ は実数とする。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{3x}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{2x}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{3x}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{2x}}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{x}}$$

方程式 $$x^3+2x-20=0$$ は、ただ 1 つの実数解 $\alpha$ をもつ。$n<\alpha <n+1$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

方程式 $$x^3+x-20=0$$ は、ただ 1 つの実数解をもつ。この実数解を $\alpha$ とするとき、$n<\alpha <n+1$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

方程式 $$x^3+2x-20=0$$ はただ 1 つの実数解をもつ。この実数解を $\alpha$ とするとき、$n<\alpha <n+1$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

$x$ を実数とする。数列
$$\left\{{\left(\frac{3x-1}{4}\right)}^n\right\}(n=1,2,3,\cdots )$$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$x$ を実数の定数とする。数列 $$\left\{{\left(\frac{3x-1}{2}\right)}^n\right\}(n=1,2,3,\dots )$$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$x$ を実数とする。無限級数 $$\sum _{n=1}^{\infty }(x-1){\left(\frac{2x-1}{3}\right)}^{n-1}$$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$x$ を実数とする。第 $n$ 項が
$$a_n=x{\left(\frac{2x+1}{3}\right)}^{n-1}(n=1,2,3,\cdots )$$
で与えられる無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=x+x\cdot \frac{2x+1}{3}+x{\left(\frac{2x+1}{3}\right)}^2+\cdots$$
を考える。ここで、公比は $2x+1$ を $3$ で割った値 $\frac{2x+1}{3}$ である。この無限級数が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$x$ を実数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }(x-1){\left(\frac{2x+1}{3}\right)}^{n-1}=(x-1)+(x-1)\cdot \frac{2x+1}{3}+(x-1){\left(\frac{2x+1}{3}\right)}^2+\cdots$$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$a$ は実数の定数とする。極限
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+ax-10}{x-2}$$
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。極限
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+ax-3}{x-1}$$
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

$a$ は実数の定数とする。極限 $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+ax+6}{x-2}$$ が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 4x}{x\left(e^{2x}-1\right)}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}$$ ただし、$\log$ は自然対数である。

次の極限値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}$$

$n$ を正の整数とし、
$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{2n^3+k^2}$$
とおく。極限値 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^3+k}$$ とおく。極限値 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ を求めよ。

$n$ を正の整数とし、
$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^3+k}$$
とおく。極限値 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x\geqq 0$ を満たす実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{n+1}+a{x}^2+3}{x^n+1}$$
で定める（$n$ は正の整数）。$f(x)$ が $x\geqq 0$ で連続となるような $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x\geqq 0$ で定義された関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{n+1}+ax+3}{x^n+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数とする。$f(x)$ が $x\geqq 0$ で連続となるような定数 $a$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x\geqq 0$ を満たす実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{n+1}+ax+2}{x^n+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数とする。$f(x)$ が $x\geqq 0$ の範囲で連続となるような定数 $a$ の値を求めよ。

$x$ を実数とする。無限級数
$$x+x(x^2-3x+1)+x(x^2-3x+1{)}^2+\cdots +x(x^2-3x+1{)}^{n-1}+\cdots$$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+a}-3}{x-3}& (x\ne 3)\\ b& (x=3)\end{array}$$
で定める。$f(x)$ が $x=3$ で連続であるとき，$a+b$ の値を求めよ。

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-\cos x}{x\sin x}$$

$x$ は $x\ne -3$ を満たす実数とする。数列
$$\left\{{\left(\frac{2x-1}{x+3}\right)}^n\right\}(n=1,2,3,\cdots )$$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{2x}-1\right)\tan x}{1-\cos 3x}$$

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{3x}-e^x\right)\tan 2x}{1-\cos 2x}$$

$x$ を実数の定数とし、数列 $\{a_n\}$ を
$$a_n={\left(\frac{x^2-2x-1}{2}\right)}^n(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。数列 $\{a_n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x\sin 2x}-\cos x}{x\left(e^{3x}-1\right)}$$

$a,b$ は実数の定数とする。実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2x^{2n+1}+a{x}^2+bx+3}{x^{2n}+1}$$
で定める（$n$ は正の整数）。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続であるとき、$f\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$x$ を実数の定数とする。数列 $\{a_n\}$ を
$$a_n={\left(\frac{x^2-3x}{2}\right)}^n(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。数列 $\{a_n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a{x}^{2n+1}+x^{2n}+x^3+a^2{x}^2}{x^{2n}+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数である。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるような $a$ の値を求めよ。

$x$ を実数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }x{\left(x^2-2x\right)}^{n-1}=x+x\left(x^2-2x\right)+x{\left(x^2-2x\right)}^2+\cdots$$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{2n+1}+a{x}^2+bx+3}{x^{2n}+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数である。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるように $a,b$ の値を定めたとき、区間 $-1\le x\le 1$ における $f(x)$ の最大値を求めよ。

$n$ を正の整数とする。$x$ についての 2 次方程式
$$x^2-2nx-3n=0$$
の正の解を $x_n$ とする。極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(2x_n-4n-3\right)$$
を求めよ。

1 辺の長さが $1$ の正方形を $F_1$ とする。正方形 $F_n$ $(n=1,2,3,\dots )$ の頂点を順に $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ とし、辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$ を
$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=\mathrm{CR}:\mathrm{RD}=\mathrm{DS}:\mathrm{SA}=1:2$$
となるようにとる。このとき四角形 $\mathrm{PQRS}$ は正方形になる。この正方形を $F_{n+1}$ とする。

正方形 $F_n$ の周の長さを $L_n$ とするとき、無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }{L}_n$ の和を求めよ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$n$ を $2$ 以上の整数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=[x^2]-[x{]}^2$$
を考える。開区間 $0<x<n$ において $f(x)$ が連続でない点の個数を $n$ の式で表せ。

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}\right)}^{\frac{1}{x\sin x}}$$
ただし、$e$ は自然対数の底である。

次の極限値を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{4^k{\cos }^2\frac{\pi }{2^{k+1}}}$$

$x$ を実数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }(x-1){\left(x^2-3x+1\right)}^{n-1}$$
が収束し、かつその和が $-1$ 以上となるような $x$ の値の範囲を求めよ。

$n$ を正の整数とし、
$$T_n=\sum _{k=1}^n\frac{n^2}{n^3+k^2}$$
とおく。極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(1-T_n\right)$$
を求めよ。

$a$ を正の定数とする。極限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{a+x\sin 2x}-2}{e^{x^2}-\cos x}$$
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sin \frac{n\pi }{3}$$
は収束する。その和を求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{a{x}^2}-b\cos 3x}{x\sin 2x}=4$$
が成り立つとき、$a+b$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$x$ についての方程式
$$x^n+x^{n-1}+\cdots +x^2+x=1$$
は正の実数解をただ $1$ つもつ。この解を $x_n$ とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n\left(x_n-\frac{1}{2}\right)$$
を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\le x\le 2$ で定義された関数
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2{\left(x^2-2ax\right)}^{2n}+x}{{\left(x^2-2ax\right)}^{2n}+1}$$
を考える。ただし，$n$ は正の整数である。$f(x)$ が区間 $0\le x\le 2$ で連続となるような $a$ の値の範囲を求めよ。なお，端点 $x=0$, $x=2$ では，それぞれ右側，左側からの連続性を考えるものとする。

次の無限級数の和を求めよ。
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}\cos \frac{2n\pi }{3}$$
ただし、必要ならば $0<x<1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n=0$ であることを用いてよい。

$a,b$ は実数の定数とする。等式
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{a+\cos x}-b}{x\left(e^{2x}-1\right)}=-\frac{1}{24}$$
が成り立つとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1 辺の長さが $6$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円を $C_0$ とする。

頂点 $\mathrm{A}$ について、次のように円 $D_1,D_2,D_3,\dots$ を順に定める。
- $D_1$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$C_0$ に外接する円のうち、$C_0$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。
- $k=1,2,3,\dots$ に対し、$D_{k+1}$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$D_k$ に外接する円のうち、$D_k$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。

頂点 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ についても同様に円の列を定める。内接円 $C_0$ と、3 つの頂点それぞれについて定めた無限個の円すべての面積の総和を求めよ。

$a,b,c$ を実数の定数とする。$0\le x\le 3$ で定義された関数
$$f(x)=[x]\left(x^3+a{x}^2+bx+c\right)$$
が区間 $0\le x\le 3$ で連続であるとする。ただし、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。このとき、$f(x)$ の $0\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を
$$a_1=\frac{5}{2},a_{n+1}=a_n^2-3a_n+4(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n-1}$$
の和を求めよ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$a,b$ を実数の定数とし、すべての実数 $x$ に対して関数 $f(x)$ を
$$f(x)=[x{]}^2+\left(x-[x]\right)\left(a[x]+b\right)$$
で定める。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるように定数 $a,b$ を定めたとき、方程式 $f(x)=12$ を満たす正の実数 $x$ を求めよ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\sum _{k=1}^n\left[\sqrt{k}\right]=\left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]+\cdots +\left[\sqrt{n}\right]$$
とおく。極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{n\sqrt{n}}$$
を求めよ。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=\frac{1}{4{\cos }^2\frac{\pi }{4}}+\frac{1}{16{\cos }^2\frac{\pi }{8}}+\frac{1}{64{\cos }^2\frac{\pi }{16}}+\cdots$$
は収束する。その和を求めよ。

すべての実数 $x$ で定義された関数 $f(x)$ が、$x=0$ で連続で $f(0)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して
$$f(2x)=f(x)\cos x+\frac{3}{2}x\sin 2x$$
を満たしている。$f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。