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極限の問題

難易度 3共通テストレベル数学III 極限

$x$ を実数の定数とし、数列 ${a_{n}}$ を
$a_{n} = (\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2})^{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。数列 ${a_{n}}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

無限等比数列 ${r^{n}}$ の極限（説明と入口の問題）
2 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$a_{n}$ は公比 $r = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2}$ の等比数列です。数列 ${r^{n}}$ が収束するのはどのような $r$ のときかを思い出しましょう。

ヒント 2

${r^{n}}$ が収束するための必要十分条件は $- 1 < r \leq 1$ です。端の $r = 1$ は含み、 $r = - 1$ は含みません。

ヒント 3

$r \leq 1$ を整理すると $(x + 1) (x - 3) \leq 0$ 、 $r > - 1$ を整理すると $(x - 1)^{2} > 0$ になります。

答えと解説

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[- 1, 1) \cup (1, 3]

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解説を読む

$r = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2}$ とおくと、 $a_{n} = r^{n}$ であり、 ${a_{n}}$ は公比 $r$ の等比数列（初項 $r$ ）です。

数列 ${r^{n}}$ は次のようになります。
- $r > 1$ のとき $n \to \infty lim r^{n} = \infty$ （発散）
- $r = 1$ のとき $n \to \infty lim r^{n} = 1$ （収束）
- $- 1 < r < 1$ のとき $n \to \infty lim r^{n} = 0$ （収束）
- $r \leq - 1$ のとき振動する（発散）

よって、 ${a_{n}}$ が収束するための必要十分条件は $- 1 < r \leq 1$ です。

$r \leq 1$ の条件
$\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2} \leq 1 ⟺ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0 ⟺ (x + 1) (x - 3) \leq 0 ⟺ - 1 \leq x \leq 3$

$r > - 1$ の条件
$\frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2} > - 1 ⟺ x^{2} - 2 x + 1 > 0 ⟺ (x - 1)^{2} > 0 ⟺ x \neq = 1$

参考までに $r = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 2}{2} \geq - 1$ なので、 $r = - 1$ となるのは $x = 1$ のときだけです。このとき $a_{n} = (- 1)^{n}$ となり、 ${a_{n}}$ は振動して収束しません。

2つの条件を合わせると
$- 1 \leq x < 1, 1 < x \leq 3$
となります。

なお、 $x = - 1, 3$ のときは $r = 1$ なので $a_{n} = 1$ となり、1 に収束します。

答えは $[- 1, 1) \cup (1, 3]$ です。

別解

公比 $r = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{2}$ とおくと、 $a_{n} = r^{n}$ が収束する条件は $- 1 < r \leq 1$ である。

(i) $r \leq 1$ より $x^{2} - 2 x - 1 \leq 2$ 、すなわち $x^{2} - 2 x - 3 \leq 0$ 。 $(x - 3) (x + 1) \leq 0$ より $- 1 \leq x \leq 3$ 。

(ii) $r > - 1$ より $x^{2} - 2 x - 1 > - 2$ 、すなわち $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ 。 $(x - 1)^{2} > 0$ より $x \neq = 1$ 。

(i)(ii) より $- 1 \leq x < 1$ 、 $1 < x \leq 3$ 。

検算： $x = 3$ のとき $r = 1$ で $a_{n} = 1$ となり収束する。 $x = - 1$ のとき $r = 1$ で収束する。 $x = 1$ のとき $r = - 1$ で $a_{n} = (- 1)^{n}$ となり振動して発散する。 $x = 0$ のとき $r = - 1/2$ で 0 に収束する。

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