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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

$x$ を実数とする。数列
${(\frac{3 x - 1}{4})^{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

無限等比数列 ${r^{n}}$ の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

無限等比数列 ${r^{n}}$ が収束する条件（公比 $r$ の範囲）を使います。

ヒント 2

${r^{n}}$ が収束するのは $- 1 < r ≦ 1$ のときです。ここでは $r = \frac{3 x - 1}{4}$ です。端の $r = 1$ は含み、 $r = - 1$ は含まないことに注意しましょう。

ヒント 3

$- 1 < \frac{3 x - 1}{4} ≦ 1$ の各辺に $4$ をかけると $- 4 < 3 x - 1 ≦ 4$ となります。これを $x$ について解きましょう。

答えと解説

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- 1 < x ≦ \frac{5}{3}

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解説を読む

無限等比数列 ${r^{n}}$ の極限の性質を使います。

無限等比数列 ${r^{n}}$ について、
- $r > 1$ のとき $n \to \infty lim r^{n} = \infty$ （発散）
- $r = 1$ のとき $n \to \infty lim r^{n} = 1$ （収束）
- $∣ r ∣ < 1$ のとき $n \to \infty lim r^{n} = 0$ （収束）
- $r ≦ - 1$ のとき振動する（発散）

したがって、 ${r^{n}}$ が収束するための必要十分条件は
$- 1 < r ≦ 1$
です。

この問題の数列は公比 $r = \frac{3 x - 1}{4}$ の無限等比数列なので、収束する条件は
$- 1 < \frac{3 x - 1}{4} ≦ 1$
です。各辺に $4$ をかけると（ $4 > 0$ なので不等号の向きは変わらない）
$- 4 < 3 x - 1 ≦ 4$
各辺に $1$ を加えて
$- 3 < 3 x ≦ 5$
各辺を $3$ で割って
$- 1 < x ≦ \frac{5}{3}$

なお、 $x = \frac{5}{3}$ のときは公比が $1$ で極限値 $1$ 、 $- 1 < x < \frac{5}{3}$ のときは極限値 $0$ となり、どちらも収束しています。一方 $x = - 1$ のときは公比が $- 1$ となり振動するので含めません。

よって、求める範囲は $- 1 < x ≦ \frac{5}{3}$ です。

別解

数列 ${r^{n}}$ は $- 1 < r \leq 1$ のとき収束する。ここで $r = \frac{3 x - 1}{4}$ とおく。

$- 1 < \frac{3 x - 1}{4} \leq 1$ より $- 4 < 3 x - 1 \leq 4$ 、すなわち $- 3 < 3 x \leq 5$ となるので、 $- 1 < x \leq \frac{5}{3}$ を得る。

検算：
- $x = \frac{5}{3}$ のとき $r = 1$ なので、数列は常に 1 で 1 に収束する。
- $x = - 1$ のとき $r = - 1$ なので、数列は $- 1, 1, - 1, \dots$ となり発散する。
- $x = 0$ のとき $r = - \frac{1}{4}$ なので、0 に収束する。

よって求める範囲は $- 1 < x \leq \frac{5}{3}$ である。

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