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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

$x$ を実数とする。無限級数
$n = 1 \sum \infty (x - 1) (\frac{2 x + 1}{3})^{n - 1} = (x - 1) + (x - 1) \cdot \frac{2 x + 1}{3} + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{3})^{2} + \dots$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

文字を含む無限等比級数の収束条件と和（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

初項と公比に文字を含む無限等比級数の収束条件を使います。まず、初項 $a$ と公比 $r$ を $x$ で表しましょう。

ヒント 2

無限等比級数 $\sum a r^{n - 1}$ が収束する条件は「 $a = 0$ または $- 1 < r < 1$ 」です。 $a = 0$ の場合を忘れないようにしましょう。

ヒント 3

初項は $x - 1$ 、公比は $\frac{2 x + 1}{3}$ です。 $- 1 < \frac{2 x + 1}{3} < 1$ を解くと $- 2 < x < 1$ になります。これに $x - 1 = 0$ となる場合を合わせましょう。

答えと解説

答えを見る

- 2 < x \leq 1

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解説を読む

この無限級数は、初項 $a = x - 1$ 、公比 $r = \frac{2 x + 1}{3}$ の無限等比級数である。

無限等比級数 $n = 1 \sum \infty a r^{n - 1}$ が収束するのは、
$a = 0 または - 1 < r < 1$
のときである。2 つの場合を順に調べる。

(i) 初項が $0$ のとき

$x - 1 = 0$ より $x = 1$ 。このとき各項はすべて $0$ なので、級数は収束する（和は $0$ ）。

(ii) 公比が $- 1 < r < 1$ のとき
$- 1 < \frac{2 x + 1}{3} < 1$
各辺に $3$ をかけると
$- 3 < 2 x + 1 < 3$
各辺から $1$ をひくと
$- 4 < 2 x < 2$
各辺を $2$ でわると
$- 2 < x < 1$

(i), (ii) をあわせる

収束する $x$ の値の範囲は、(i) の $x = 1$ と (ii) の $- 2 < x < 1$ を合わせたものである。 $x = 1$ は $- 2 < x < 1$ には含まれないが、その右端の点なので、合わせると
$- 2 < x \leq 1$
となる。

（参考： $x = - 2$ のとき、初項は $- 3 \neq = 0$ 、公比は $- 1$ なので、各項は $- 3, 3, - 3, \dots$ となり、級数は収束しない。）

よって、求める範囲は $- 2 < x \leq 1$ である。

別解

初項 $x - 1$ 、公比 $r = \frac{2 x + 1}{3}$ の無限等比級数である。

(i) 初項が 0 のとき、つまり $x = 1$ のとき、すべての項が 0 なので和は 0 で収束する。

(ii) $x \neq = 1$ のとき、収束する条件は $∣ r ∣ < 1$ である。
$\frac{2 x + 1}{3} < 1$ より $- 3 < 2 x + 1 < 3$ 、つまり $- 2 < x < 1$ 。

(i)(ii) を合わせると、収束するのは $- 2 < x \leq 1$ である。

検算： $x = 1$ のとき各項は 0 で収束する。 $x = - 2$ のとき $r = - 1$ 、初項は $- 3$ で、項が $- 3, 3, - 3, \dots$ となり発散する。 $x = 0$ のとき $r = \frac{1}{3}$ 、初項 $- 1$ で収束する。 $x = 1$ 以外で $x > 1$ のとき $r > 1$ なので発散する。

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