極限の問題

この無限級数は、初項 $a=x-1$、公比 $r=\frac{2x-1}{3}$ の無限等比級数です。

無限等比級数 $\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ が収束する条件は
$$a=0\text{または}-1<r<1$$
です。2 つの場合に分けて調べます。

(1) 初項が $0$ のとき

$x-1=0$ より $x=1$ です。このとき各項はすべて $0$ なので、級数は収束します（和は $0$）。

(2) 公比が $-1<r<1$ のとき

$$-1<\frac{2x-1}{3}<1$$
各辺に $3$ をかけると
$$-3<2x-1<3$$
各辺に $1$ を加えると
$$-2<2x<4$$
各辺を $2$ で割ると
$$-1<x<2$$
です。

(1), (2) を合わせる

求める範囲は「$x=1$」または「$-1<x<2$」です。$x=1$ は $-1<x<2$ に含まれているので、まとめると
$$-1<x<2$$
となります。

これは初項 $a=x-1$、公比 $r=\frac{2x-1}{3}$ の無限等比級数である。

収束条件は、$a=0$ または $|r|<1$。

(1) $a=0$ のとき、$x=1$。すべての項が 0 なので収束する。このとき $r=\frac{1}{3}$ なので、$|r|<1$ にも含まれる。

(2) $|r|<1$ のとき、$\left|\frac{2x-1}{3}\right|<1$ より $-3<2x-1<3$、すなわち $-1<x<2$。

$x=1$ は $-1<x<2$ に含まれるので、収束条件は $-1<x<2$。

検算：$x=2$ のとき、$r=1$ で $a=1\ne 0$ なので、各項は 1 となり発散する。$x=-1$ のとき、$r=-1$ で $a=-2$ なので、項は振動して発散する。$x=0$ のとき、$a=-1$、$r=-\frac{1}{3}$ で収束する。よって区間 $-1<x<2$ は正しい。