極限の問題

この級数は、初項 $a=x-1$、公比 $r=x^2-3x+1$ の無限等比級数である。

無限等比級数 $\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ が収束するための必要十分条件は「$a=0$ または $-1<r<1$」である。収束するとき、和は $a=0$ なら $0$、$-1<r<1$ なら $\frac{a}{1-r}$ となる。

(1) $a=0$ のとき

$x=1$ である。このとき各項はすべて $0$ なので、級数は収束して和は $0$ となる。$0\geqq -1$ なので、$x=1$ は条件を満たす。

（なお、$x=1$ のとき $r=1-3+1=-1$ である。公比の条件 $-1<r<1$ だけを調べるとこの値を見落とす。）

(2) $-1<r<1$ のとき

$r<1$ より $x^2-3x<0$、すなわち $0<x<3$ である。

$r>-1$ より $x^2-3x+2>0$、すなわち $(x-1)(x-2)>0$ なので $x<1$ または $x>2$ である。

よって $0<x<1$ または $2<x<3$ となる。このとき和 $S$ は
$$S=\frac{x-1}{1-(x^2-3x+1)}=\frac{x-1}{3x-x^2}=\frac{x-1}{x(3-x)}$$
である。$0<x<3$ では分母 $x(3-x)>0$ である。

• $0<x<1$ の場合

$S\geqq -1$ の両辺に $x(3-x)>0$ を掛けて
$$x-1\geqq -x(3-x)=x^2-3x$$
$$x^2-4x+1\leqq 0$$
を得る。$x^2-4x+1=0$ の解は $x=2\pm \sqrt{3}$ なので、$2-\sqrt{3}\leqq x\leqq 2+\sqrt{3}$ である。

$1<\sqrt{3}<2$ より $0<2-\sqrt{3}<1$ であるから、$0<x<1$ と合わせて $2-\sqrt{3}\leqq x<1$ となる。

• $2<x<3$ の場合

$x-1>0$ かつ $x(3-x)>0$ なので $S>0>-1$ となり、つねに条件を満たす。

(3) まとめ

それ以外の $x$（$x\leqq 0$、$1<x\leqq 2$、$x\geqq 3$）では $a\ne 0$ かつ $|r|\geqq 1$ なので、級数は発散する。

以上 (1), (2) を合わせると、求める範囲は
$$2-\sqrt{3}\leqq x\leqq 1,2<x<3$$
である。

初項 $a=x-1$、公比 $r=x^2-3x+1$ の無限等比級数である。

[収束条件] 収束するのは $a=0$ または $|r|<1$ のときである。

・$a=0$ すなわち $x=1$ のとき、各項が 0 なので和は $0$ で、$-1$ 以上を満たす。

・$|r|<1$ のとき、$-1<x^2-3x+1<1$ である。
$x^2-3x+1<1$ より $0<x<3$。
$x^2-3x+1>-1$ より $x^2-3x+2>0$ なので $x<1$ または $x>2$。
よって $0<x<1$ または $2<x<3$ である。

[和の条件] このとき和は $S=\frac{x-1}{1-r}=\frac{x-1}{x(3-x)}$ で、$0<x<3$ では分母 $x(3-x)>0$ である。
$S\ge -1$ より $x-1\ge -x(3-x)=x^2-3x$、つまり $x^2-4x+1\le 0$ となり、$2-\sqrt{3}\le x\le 2+\sqrt{3}$ である。

・$0<x<1$ との共通部分は $2-\sqrt{3}\le x<1$。
・$2<x<3$ は $2+\sqrt{3}\approx 3.73$ より小さいので、すべて満たす。

$x=1$ を加えると、答えは $2-\sqrt{3}\le x\le 1$、または $2<x<3$ である。

[検算] $x=0.5$ では $r=-0.25$、$S=-0.5/1.25=-0.4\ge -1$ で成り立つ。$x=0.2$ では $S=-0.8/(0.2\cdot 2.8)\approx -1.43<-1$ で不適。これは $2-\sqrt{3}\approx 0.268$ と整合する。