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1 次不等式

負の数をかける・割ると不等号の向きが変わることに注意して、分数や括弧を含む 1 次不等式 を解ける

前提

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算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）
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  11. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）

説明

1 次不等式とは、移項して整理すると 、 などの形（）になる不等式のことです。この技能を身につけると、分数や括弧を含む 1 次不等式を、条件を満たす の範囲として解けるようになります。方程式と同じように、分母を払う・括弧を外す・移項するといった変形を使います。ただし、両辺に負の数をかけたり両辺を負の数で割ったりするときは、不等号の向きを逆にしなければなりません。

なぜそうしてよいのか

不等式は、両辺に同じ数を足しても引いても成り立ちます。数直線上で 2 つの数を同じだけずらしても、左右の位置関係は変わらないからです。そのため、方程式と同じように移項できます。両辺に正の数 をかけても大小は変わりません。 ならば で、 は（正の数）×（正の数）なので正です。よって となります。

ところが、 が負の数のときは が（負の数）×（正の数）となり、負になります。つまり なので となり、大小が逆になります。たとえば の両辺に をかけると と になりますが、正しい関係は です。数直線で考えると、負の数をかけることは を中心に左右をひっくり返すことなので、左右の順番が入れかわるのです。負の数で割ることは、その逆数（これも負の数）をかけることと同じなので、やはり向きが変わります。

この性質を使い、不等号の向きに注意しながら式を や の形にすれば、それが不等式の解（成り立つ の範囲）になります。

手順

  1. 分母があれば、分母の最小公倍数（正の数）を両辺のすべての項にかけて分母を払う。正の数をかけるので不等号の向きはそのまま。分子は括弧でくくってからかける。

  2. 括弧を外す。括弧の前が負の数のときは、括弧の中のすべての項の符号を変える。例：

  3. を含む項を左辺に、数の項を右辺に移項して整理し、（または ）の形にする。

  4. 両辺を の係数 で割る。 なら不等号の向きはそのまま、 なら向きを逆にする。

例題

不等式 を解け。

例題の解答

【手順 1】分母 の最小公倍数 を両辺にかけます。 は正の数なので、向きは変わりません。右辺の にも をかけます。

【手順 2】括弧を外します。 は括弧の中の両方の項にかけます。

【手順 3】左辺を整理すると です。 を右辺に移項すると

【手順 4】両辺を の係数 で割ります。負の数で割るので、不等号の向きを逆にします。

（確かめ： のとき、左辺は となり、等号が成り立ちます。 のとき、左辺は で、 以上なので成り立ちます。）
答え：

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること