単元一覧 › 高校数学 › 数学I

数と式

扱うテーマ: 式の展開と因数分解、実数と平方根・根号を含む式の計算、対称式の値（x+y, xy から x^2+y^2 などを求める）、1 次不等式・連立不等式、絶対値を含む方程式・不等式

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

キーワードで探す →

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。式 $(2 x + 3)^{3}$ を展開したとき、 $x^{2}$ の係数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を変数とする。式 $(2 x - 3)^{3}$ を展開したときの $x^{2}$ の係数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。次の式を展開せよ。 $(2 x - 3)^{3}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の分母を有理化して簡単にせよ。 $\frac{6}{5 + 2}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $\frac{4}{3 - 1} - 12$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の分母を有理化し、できるだけ簡単にした形を求めよ。 $\frac{6}{7 - 2}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が $x + y = 5, x y = 3$ を満たすとき、 $x^{3} + y^{3}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が
$x + y = 5, x y = 3$
を満たすとき、 $x^{3} + y^{3}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が $x + y = 5, x y = 3$ を満たすとき、 $x^{3} + y^{3}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式を因数分解せよ。 $x^{2} + x y - 2 y^{2} + 2 x + 7 y - 3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式を因数分解せよ。 $x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + 2 x + 5 y - 3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式を因数分解せよ。 $2 x^{2} - x y - y^{2} + 3 x + 3 y - 2$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。次の 1 次不等式を解け。 $\frac{x + 4}{2} - \frac{5 x - 1}{4} < 3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 1}{3} ≧ 1$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 1}{3} ≧ 1$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$11$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とする。このとき、 $b^{2} + 6 b$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、小数部分とは $x$ から整数部分を引いた値のことである。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$10$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とする。このとき、 $b^{2} + 6 b$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、 $x$ の小数部分とは $x$ からその整数部分を引いた数のことである。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$10$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とする。このとき、 $b^{2} + 6 b$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、 $x$ の小数部分とは $x$ から整数部分を引いた値のことである。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が $x + y = 2, x y = - 1$ を満たすとき、 $x^{5} + y^{5}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が $x + y = 3, x y = 1$ を満たすとき、 $x^{5} + y^{5}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ が $x + y = 3, x y = 1$ を満たすとする。このとき、 $x^{5} + y^{5}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 3, x y + y z + z x = - 1, x y z = - 2$
を満たしている。このとき、 $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 4, x y + y z + z x = 2, x y z = - 1$
を満たしている。このとき、 $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 4, x y + y z + z x = 1, x y z = - 2$
を満たしている。このとき、 $x^{3} + y^{3} + z^{3}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x, y$ についての 2 次式
$2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} - x + 8 y + a$
が、実数を係数とする $x, y$ の $1$ 次式 $2$ つの積に因数分解できるような $a$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x, y$ についての 2 次式
$2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + 7 x - y + a$
が、実数を係数とする $x, y$ の 1 次式 2 つの積に因数分解できるとき、 $a$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x, y$ についての $2$ 次式
$2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} - x + 8 y + a$
が、実数を係数とする $x, y$ の $1$ 次式 $2$ つの積に因数分解できるとき、 $a$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。不等式
$x + 1 < 3 x - 5 ≦ 2 x + 4$
を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。連立不等式
${3 x - 2 < x + 6 x - 1 ≦ 3 x + 5 (1) (2)$
を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。次の連立不等式を解け。 ${4 x + 1 > 2 x - 5 2 (x + 1) ≧ 5 x - 7 (1) (2)$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。不等式 $∣2 x - 3∣ ≦ 5$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。不等式
$∣2 x - 5∣ ≦ 3$
を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。不等式 $∣2 x + 1∣ ≦ 7$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 2, x y + y z + z x = - 1, x y z = - 2$
を満たすとき、 $x^{5} + y^{5} + z^{5}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 5, x y + y z + z x = - 3$
を満たすとき、 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 1, x y + y z + z x = - 2, x y z = - 1$
を満たすとき、 $x^{6} + y^{6} + z^{6}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての不等式
$4 x - a < x + 2$
を満たす正の整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての不等式
$3 x - a < x + 1$
を満たす正の整数 $x$ がちょうど $3$ 個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${3 x + 2 ≦ 2 x + 6 2 x > a (1) (2)$
を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。方程式 $∣ x - 2∣ + ∣ x + 1∣ = 5$ の解をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ を実数とする。方程式 $∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣ = 6$ の解をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。方程式 $∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ = 6$ の解をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x = \frac{2}{3 - 5}$ とする。 $x$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、
$\frac{a}{b} - b^{2} - b$
の値を求めよ。ただし、 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、小数部分とは $b = x - a$ で定まる数のことである。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x = \frac{7 + 3}{2}, y = \frac{7 - 3}{2}$ のとき、
$x^{4} + y^{4} - x^{3} y - x y^{3}$
の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x, y$ についての式
$x^{2} + x y - 2 y^{2} + a x + 5 y - 2$
が、実数を係数とする $x, y$ の $1$ 次式 $2$ つの積に因数分解できるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$\frac{2}{3 - 7}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とする。このとき、 $b^{2} + 4 b + a$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$\frac{2}{3 - 5}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とする。このとき、 $a^{2} + ab + b^{2}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x = \frac{7 + 3}{7 - 3}, y = \frac{7 - 3}{7 + 3}$
のとき、 $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x, y$ の式
$x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} - 2 x - 5 y + k$
が、実数を係数とする $x, y$ の $1$ 次式 $2$ つの積に因数分解できるとき、 $k$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x$ は実数とする。不等式
$∣ x - 1∣ + ∣2 x - 6∣ ≦ 7$
を解け。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x = \frac{5 + 1}{5 - 1}$ とする。 $x$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $b^{2} + \frac{a}{b}$ の値を求めよ。ただし、実数 $x$ の整数部分とは $x$ を超えない最大の整数のことであり、小数部分とは $x$ から整数部分を引いた値のことである。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
実数 $x, y$ が $x + y = 3, x y = - 2$ を満たすとき、 $\frac{x ^{2}}{y} + \frac{y ^{2}}{x}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x, y$ についての 2 次式
$2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} + 5 x + a y - 3$
が、実数を係数とする $x, y$ の 1 次式の積に因数分解できるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
${5 x + 3 > 3 x - 4 3 (x - a) ≦ x + 2$
を満たす整数 $x$ がちょうど $4$ 個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 2}{2} > 1 4 x - a ≦ x + 2$
を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個存在するような、 $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ を実数とする。不等式
$∣2 x - 3∣ + ∣ x + 1∣ < 2 x + 4$
を解け。
難易度 3（共通テストレベル）
$x = \frac{2}{5 - 3}, y = \frac{2}{5 + 3}$ のとき、 $x^{5} + y^{5}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
$⎩ ⎨ ⎧ 5 x - 7 < 2 (x + 4) \frac{2 x - a}{3} \geq \frac{x + a}{4} (1) (2)$
を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ を実数とする。不等式
$∣ x^{2} - 4∣ ≦ 3∣ x ∣$
を解け。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
$⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + 1}{2} - \frac{2 x - 5}{3} > 1 5 x + a ≧ 3 x - 1$
を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ を実数とする。方程式 $∣ x - 3∣ - 2 x = 6$ の解をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a = 14 - 65$ とする。このとき、 $P = a^{2} - 4 a + 4 + 9 a^{2} - 6 a + 1$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ を整数とする。 $n^{4} + 4$ が素数となるような $n$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x, y$ が $x > y$ を満たし、さらに $x + y = 3, x^{2} + y^{2} = 7$ を満たすとする。このとき、 $x^{4} - y^{4}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $1 ≦ x ≦ 3$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、 $x$ についての不等式 $(a - 1) x + 5 > 2 a$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} + x + y = 5040$ を満たす正の整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は全部で何個あるか。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式
$⎩ ⎨ ⎧ a^{2} x + 1 > x + a 3 x + 5 > x - 1 \frac{x - 1}{2} ≦ \frac{x + 1}{4} (1) (2) (3)$
を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ を実数とする。 $f (x) = k = 1 \sum 50 k^{2} x - 1 = ∣ x - 1∣ + ∣4 x - 1∣ + ∣9 x - 1∣ + \dots + ∣2500 x - 1∣$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x, y$ が $x > y > 0$ を満たし、さらに
$x^{2} + y^{2} = 6, \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y ^{2}} = 6$
を満たすとする。このとき、 $x^{5} - y^{5}$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての不等式
$∣ x - a ∣ + ∣2 x - 4∣ < 3$
を満たす整数 $x$ がちょうど $2$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x, y, z$ が
$x + y + z = 2, x^{3} + y^{3} + z^{3} = 8, x y z = - 18$
を満たしている。このとき、 $x^{6} + y^{6} + z^{6}$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$p = 4 + 15, q = 4 - 15$ とする。このとき、 $\frac{p ^{3} + q ^{3}}{p - q}$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$n$ を整数とする。 $n^{4} - 12 n^{2} + 16$ の値が素数となるような $n$ をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての連立不等式 $⎩ ⎨ ⎧ a x - 1 > x + a \frac{x + 3}{2} ≧ x (1) (2)$ が実数解をもたないような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $a, b, c$ が $ab + b c + c a = 2$ を満たしながら動くとき、 $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (c^{2} + 1)$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$n$ を正の整数とする。 $x$ についての連立不等式 ${17 x > 5 n 10 x < 3 n$ を満たす整数 $x$ が $1$ つも存在しないような $n$ は全部で何個あるか。