数と式の問題

まず分母を有理化する。
$$\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$
次に、この数の大きさを調べる。$4<5<9$ より $2<\sqrt{5}<3$ である。各辺に $3$ を加えて $2$ で割ると
$$\frac{5}{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<3$$
となる。よって整数部分は $a=2$ である。

小数部分は、もとの数から整数部分を引いたものなので
$$b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

それぞれの項を計算する。
- $a^2=4$
- $ab=2\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
- $b^2=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

これらを足すと
$$a^2+ab+b^2=4+(\sqrt{5}-1)+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{6+2\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{2}=\frac{9+\sqrt{5}}{2}$$
となる。

（確認：$\sqrt{5}\approx 2.236$ とすると $a=2$、$b\approx 0.618$ であり、$a^2+ab+b^2\approx 4+1.236+0.382=5.618$ となる。一方 $\frac{9+\sqrt{5}}{2}\approx 5.618$ なので一致する。）

$\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。$2<\sqrt{5}<3$ より $\frac{5}{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<3$ なので整数部分は $a=2$。小数部分は $b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$b^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$、$ab=\sqrt{5}-1$。
よって $a^2+ab+b^2=4+(\sqrt{5}-1)+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{9+\sqrt{5}}{2}$。
検算：$b\approx 0.618$ なので $4+1.236+0.382=5.618$、$\frac{9+2.236}{2}=5.618$ で一致。