分配法則を使った計算のくふう

共通な数をくくり出したり、小数点をずらして共通な数をつくったりして、 $1.7 \times 36 + 17 \times 4.2 - 0.17 \times 180$ や $\frac{3}{7} \times 47 - \frac{3}{7} \times 36$ のような式をくふうして計算できる

前提

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）

説明

$\frac{3}{7} \times 47 - \frac{3}{7} \times 36$ や $1.7 \times 36 + 17 \times 4.2 - 0.17 \times 180$ のような式を、1 つずつかけ算せずに、共通な数をまとめて（くくり出して）簡単に計算できるようになります。このときに使うきまりを「分配法則」といいます。中学入試の計算問題で、まともに計算すると大変な式を、すばやく正確に計算するために使います。

なぜそうしてよいのか

1 ふくろに 3 こずつあめが入っています。5 ふくろと 2 ふくろを合わせると、あめは $3 \times 5 + 3 \times 2$ こです。でも、先にふくろの数を合わせて 7 ふくろと考えれば $3 \times 7$ こです。どちらも同じ数を数えているので、 $3 \times 5 + 3 \times 2 = 3 \times (5 + 2)$ です。ひき算でも同じで、5 ふくろから 2 ふくろ取りのぞけば $3 \times 5 - 3 \times 2 = 3 \times (5 - 2)$ です。このように、同じ数にかけているかけ算どうしのたし算・ひき算は、「共通な数 ×（かけている数の和や差）」にまとめられます。これが分配法則です。共通な数が分数や小数でも、面積で考えると同じことが成り立ちます（たての長さが同じ長方形をならべると、横の長さを合わせた 1 つの長方形になります）。

共通な数が見た目ではそろっていないこともあります。 $17 \times 4.2$ は、17 を $\frac{1}{10}$ にして 1.7 にし、そのかわりに 4.2 を 10 倍して 42 にすると、 $1.7 \times 42$ と同じ値になります。かけ算では、一方を $\frac{1}{10}$ にしてもう一方を 10 倍すれば、答えは変わらないからです。同じように $0.17 \times 180 = 1.7 \times 18$ です。こうして小数点をずらし、共通な数をつくってからくくり出します。

手順

式の中の各かけ算を見て、共通にふくまれている数（同じ数字のならびをふくむ数）を見つける
共通な数がそろっていないときは、一方の小数点を左右にずらし、そのぶんもう一方の小数点を逆向きに同じけただけずらして、共通な数にそろえる（例: $17 \times 4.2 = 1.7 \times 42$ ）
共通な数 ×（残りの数の和や差）の形にまとめる。ひき算になっている項は、かっこの中でもひき算にする
かっこの中を先に計算し、最後に共通な数をかける

例題

$2.3 \times 48 + 23 \times 3.4 - 0.23 \times 120$ をくふうして計算しなさい。

例題の解答

手順1: どのかけ算にも「23」という数字のならびがふくまれているので、2.3 を共通な数にします。

手順2: 小数点をずらしてそろえます。
$23 \times 3.4$ は、23 を $\frac{1}{10}$ にして 2.3、3.4 を 10 倍して 34 にして、 $2.3 \times 34$ です。
$0.23 \times 120$ は、0.23 を 10 倍して 2.3、120 を $\frac{1}{10}$ にして 12 にして、 $2.3 \times 12$ です。
式は $2.3 \times 48 + 2.3 \times 34 - 2.3 \times 12$ になります。

手順3: 2.3 でまとめると、 $2.3 \times (48 + 34 - 12)$ です。

手順4: かっこの中は $48 + 34 - 12 = 70$ なので、 $2.3 \times 70 = 161$ です。

答えは 161 です。

答え: $161$

よくある誤り

小数点をずらすとき、片方だけずらしてしまう誤り。 $23 \times 3.4$ を $2.3 \times 3.4$ としてはいけません。23 を $\frac{1}{10}$ にしたら 3.4 を 10 倍して、正しくは $2.3 \times 34$ です。
ひき算の項をかっこの中でたし算にしてしまう誤り。 $2.3 \times 48 + 2.3 \times 34 - 2.3 \times 12$ を $2.3 \times (48 + 34 + 12)$ としてはいけません。正しくは $2.3 \times (48 + 34 - 12) = 2.3 \times 70$ です。
共通な数でない部分までまとめてしまう誤り。 $\frac{3}{7} \times 47 - \frac{3}{7} \times 36$ を $(\frac{3}{7} - \frac{3}{7}) \times (47 - 36)$ としてはいけません。共通な数 $\frac{3}{7}$ は 1 回だけかけて、正しくは $\frac{3}{7} \times (47 - 36) = \frac{3}{7} \times 11 = \frac{33}{7}$ です。
たし算とかけ算の組み合わせを逆にしてしまう誤り。 $3 \times 5 + 2$ を $3 \times (5 + 2)$ としてはいけません。くくり出せるのは、たす数・ひく数の両方に共通な数がかけてあるときだけで、 $3 \times 5 + 2 = 17$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算を、くふうしてしなさい。
$23 \times 7 + 23 \times 3$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

かけ算の差のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）