根号を含む式の計算と分母の有理化

$a^{2} = ∣ a ∣$ や $a b = ab$ を使って根号を含む式を簡単にし、 $\frac{2}{3 - 5} = \frac{2 ( 3 + 5 )}{( 3 - 5 ) ( 3 + 5 )}$ のように分母を有理化できる

前提

分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）

説明

根号（ルート）を含む式を、できるだけ簡単な形に整える方法と、分母に根号がある分数を分母に根号がない形に直す方法（分母の有理化）を学びます。たとえば $12$ は $23$ に、 $\frac{1}{2}$ は $\frac{2}{2}$ に直せます。式の値を比べるとき、同じ種類の根号どうしをまとめるとき、方程式や図形の計算の答えを整えるときなど、高校数学のあらゆる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$a \geq 0$ のとき $a$ は「2乗すると $a$ になる数のうち、0 以上のもの」です。このため $a^{2}$ は「2乗すると $a^{2}$ になる 0 以上の数」です。 $a \geq 0$ なら $a$ 、 $a < 0$ なら $- a$ がそれにあたるので、まとめて $a^{2} = ∣ a ∣$ となります。たとえば $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3∣$ です。

$a \geq 0, b \geq 0$ のとき、 $a b$ は 0 以上で、 $(a b)^{2} = (a)^{2} (b)^{2} = ab$ です。つまり $a b$ は「2乗すると $ab$ になる 0 以上の数」なので $a b = ab$ です。これを使うと $k \geq 0$ のとき $k^{2} m = k^{2} m = k m$ となり、根号の中を小さくできます（例: $12 = 2^{2} \cdot 3 = 23$ ）。

分母の有理化は、「分数の分子と分母に同じ 0 でない数を掛けても値は変わらない」ことを利用します。分母が $a$ なら $a$ を掛ければ $(a)^{2} = a$ で根号が消えます。分母が $p + q$ のような和や差のときは、符号だけを変えた $p - q$ を掛けると、乗法公式 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ により $(p + q) (p - q) = p^{2} - q$ となって、2乗の形になった根号が消えます。

手順

根号の中に2乗の因数があれば外に出す： $k \geq 0$ のとき $k^{2} m = k m$ 。文字や負の数を含むときは $a^{2} = ∣ a ∣$ を使う
根号どうしの積は1つにまとめる： $a \geq 0, b \geq 0$ のとき $a b = ab$ 。同じ根号の項は $23 + 53 = 73$ のように係数をまとめる
分母が $a$ の形なら、分子と分母に $a$ を掛ける： $\frac{b}{a} = \frac{b a}{a}$
分母が $p + q$ や $p + q$ のような和・差なら、根号の項の符号を変えた式（ $p - q$ や $p - q$ など）を分子と分母の両方に掛ける。掛ける式が 0 でないことも確かめる
分母を $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ で計算して根号を消し、分子を展開して、約分や係数の整理をする

例題

$\frac{6}{5 + 2}$ の分母を有理化し、できるだけ簡単な形で求めよ。

例題の解答

（手順1・2）分母の $5$ , $2$ はこれ以上簡単にできず、まとめられる項もありません。
（手順4）分母は和 $5 + 2$ なので、符号を変えた $5 - 2$ を分子と分母に掛けます。 $5 \neq = 2$ なので $5 - 2 \neq = 0$ で、掛けてよい数です。
$\frac{6}{5 + 2} = \frac{6 ( 5 - 2 )}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )}$
（手順5）分母は $(5)^{2} - (2)^{2} = 5 - 2 = 3$ となり、根号が消えます。よって
$\frac{6 ( 5 - 2 )}{3} = 2 (5 - 2) = 25 - 22$
答えは $25 - 22$ です。

答え: $25 - 22$

よくある誤り

$(- 3)^{2} = - 3$ としてしまう誤り。根号の値は 0 以上なので、正しくは $(- 3)^{2} = 9 = 3$ 。文字なら $a^{2} = ∣ a ∣$ で、 $a < 0$ のときは $- a$ になる
$a + b = a + b$ としてしまう誤り。たとえば $9 + 16 = 25 = 5$ だが $9 + 16 = 7$ で一致しない。まとめてよいのは積 $a b = ab$ （ $a \geq 0, b \geq 0$ ）だけ
分母にだけ $3 + 5$ を掛けて分子に掛け忘れる誤り。値が変わってしまう。正しくは $\frac{2}{3 - 5} = \frac{2 ( 3 + 5 )}{( 3 - 5 ) ( 3 + 5 )} = \frac{2 ( 3 + 5 )}{4} = \frac{3 + 5}{2}$ のように分子と分母の両方に掛ける
分母の計算で $(3 - 5) (3 + 5) = 9 + 5 = 14$ と符号を誤る誤り。正しくは $x^{2} - y^{2}$ の形なので $3^{2} - (5)^{2} = 9 - 5 = 4$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

日	1	2	3	4
$x$	22	24	26	28
$y$	30	50	90	70

この技能を使う問題

生徒	A	B	C	D	E
数学の得点 $x$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
英語の得点 $y$	$6$	$8$	$12$	$10$	$14$

生徒	1	2	3	4	5
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$y$	$2$	$a$	$b$	$5$	$9$

この技能の次に学べること

整数部分と小数部分（数学I 数と式）
高次の対称式・交代式の値（数学I 数と式）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
ペル方程式の解の生成（大学数学整数論）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
単位格子の一辺と原子半径（高校化学物質の構成と化学結合）
浅水波（長波）の速さ（高校地学海洋）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）