物質の構成と化学結合の問題

ある金属 M の結晶は面心立方格子をとる。面心立方格子の単位格子は立方体で、その各頂点と各面の中心に M の原子が位置している。M の結晶の単位格子の一辺の長さは $4.05\times 10^{-8}\text{cm}$、結晶の密度は $2.70{\text{g/cm}}^3$ であった。

M の原子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、アボガドロ定数は $6.0\times 10^{23}/\text{mol}$ とし、$4.05^3=66.4$ とする。

酸化マグネシウム $\text{MgO}$ の結晶は、マグネシウムイオン ${\text{Mg}}^{2+}$ と酸化物イオン ${\text{O}}^{2-}$ からなるイオン結晶である。その単位格子は一辺の長さ $4.2\times 10^{-8}\text{cm}$ の立方体で、${\text{Mg}}^{2+}$ は立方体の各頂点と各面の中心に、${\text{O}}^{2-}$ は立方体の各辺の中点と立方体の中心に位置している。

この結晶の密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、原子量は $\text{O}=16$, $\text{Mg}=24$、アボガドロ定数は $6.0\times 10^{23}/\text{mol}$ とする。

メタン ${\text{CH}}_4$ 分子は、炭素原子を中心とし、4 個の水素原子を頂点とする正四面体形である。この形は、一辺の長さ $a$ の立方体を考え、その中心に炭素原子を、立方体の 8 個の頂点のうち互いに辺で結ばれていない 4 個の頂点（どの 2 個も立方体の面の対角線の両端になっている 4 個の頂点）に水素原子を置いたものとして表すことができる。

$\text{C}-\text{H}$ 結合の長さ（炭素原子と水素原子の原子核の間の距離）を $d$ とするとき、2 個の水素原子の原子核の間の距離を $d$ を用いて表せ。

塩化セシウム $\text{CsCl}$ の結晶では、単位格子は一辺の長さ $0.412\text{nm}$ の立方体で、塩化物イオン ${\text{Cl}}^{-}$ が立方体の各頂点に、セシウムイオン ${\text{Cs}}^{+}$ が立方体の中心に位置している。各イオンを球とみなし、${\text{Cs}}^{+}$ とそれに最も近い ${\text{Cl}}^{-}$ は互いに接しているものとする。

${\text{Cl}}^{-}$ の半径を $0.181\text{nm}$ とするとき、${\text{Cs}}^{+}$ の半径は何 nm か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、$\sqrt{3}=1.73$ とする。

ある金属の結晶は面心立方格子で、単位格子は一辺の長さが $0.40\mathrm{nm}$ の立方体である。この結晶では、立方体の各面の対角線上で、頂点の原子と面の中心の原子とが接している。原子を球とみなすとき、この金属の原子半径は何 nm か。$\sqrt{2}=1.41$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。