結晶の密度

単位格子中の原子の数・1 原子の質量（モル質量とアボガドロ定数から）・単位格子の体積から結晶の密度を求め、構造の違う結晶の密度を比べられる

前提

単位格子の一辺と原子半径（高校化学物質の構成と化学結合）
密度の計算（中学理科身のまわりの物質）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）

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算数中学高校大学大学院

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物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）

説明

金属の結晶は、単位格子が同じ向きにすき間なく積み重なってできています。この技能では、単位格子 1 個に含まれる原子の数、原子 1 個の質量、単位格子の体積から、結晶の密度を求められるようになります。また、同じ元素が体心立方格子と面心立方格子のように違う構造をとるとき、どちらの密度が大きいかを比べられるようになります。

なぜそうしてよいのか

結晶は同じ単位格子のくり返しなので、単位格子 1 個の「質量 ÷ 体積」は結晶全体の「質量 ÷ 体積」と同じです。つまり、結晶の密度は単位格子 1 個だけを見て求めればよいのです。

単位格子の質量は、（単位格子中の原子の数）×（原子 1 個の質量）です。原子 1 個の質量は、モル質量 $M [g/mol]$ が原子 $N_{A}$ 個（アボガドロ定数 $N_{A} [/ mol]$ 個）の質量であることから $\frac{M}{N _{A}} [g]$ です。単位格子が一辺 $a [cm]$ の立方体なら体積は $a^{3} [c m^{3}]$ です。単位格子中の原子の数を $n$ とすると
$密度 = \frac{n \times \frac{M}{N _{A}}}{a ^{3}} = \frac{n M}{N _{A} a ^{3}} [g/c m^{3}]$
となります。

構造の違う結晶の密度を比べるときも、この式を使います。例えば同じ原子（半径 $r$ ）が体心立方格子（ $n = 2$ 、 $3 a = 4 r$ ）と面心立方格子（ $n = 4$ 、 $2 a = 4 r$ ）をとる場合、 $a$ を $r$ で表して代入すると、密度の比は充塡率の比に等しく $\frac{3 π}{8} : \frac{2 π}{6}$ となり、すき間の少ない面心立方格子のほうが密度が大きくなります。

手順

結晶の構造から、単位格子中の原子の数 $n$ を求める（体心立方 2、面心立方 4）
原子 1 個の質量を求める: $\frac{M}{N _{A}} [g]$
単位格子の質量を求める: $n \times \frac{M}{N _{A}}$
単位格子の体積 $a^{3}$ を求める。長さの単位を cm にそろえる（ $1 nm = 1 \times 1 0^{- 7} cm$ ）
密度 $= \frac{単位格子の質量}{単位格子の体積} = \frac{n M}{N _{A} a ^{3}}$ を計算し、指定の桁数に丸める

例題

銅の結晶は、立方体の単位格子の 8 個の頂点と 6 個の面の中心に原子がある構造（面心立方格子）をとり、単位格子の体積は $4.7 \times 1 0^{- 23} c m^{3}$ である。銅のモル質量を $64 g/mol$ 、アボガドロ定数を $6.0 \times 1 0^{23} / mol$ として、銅の結晶の密度は何 $g/c m^{3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 面心立方格子なので、単位格子中の原子の数は $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ 個です。

手順 2: 銅原子 1 個の質量は $\frac{64}{6.0 \times 1 0 ^{23}} g$ です。

手順 3: 単位格子の質量は $4 \times \frac{64}{6.0 \times 1 0 ^{23}} = \frac{256}{6.0 \times 1 0 ^{23}} g$ です。

手順 4: 単位格子の体積は問題文より $4.7 \times 1 0^{- 23} c m^{3}$ で、すでに cm の単位になっています。

手順 5: 密度は
$\frac{256}{6.0 \times 1 0 ^{23} \times 4.7 \times 1 0 ^{- 23}} = \frac{256}{28.2} = 9.07 \dots$
より、有効数字 2 桁で $9.1 g/c m^{3}$ です。

答え: $9.1$

よくある誤り

単位格子中の原子の数を掛け忘れる誤り。 $\frac{64}{6.0 \times 1 0 ^{23} \times 4.7 \times 1 0 ^{- 23}} \approx 2.3$ とするのは誤りで、正しくは面心立方格子の単位格子には原子が 4 個あるので $\frac{4 \times 64}{6.0 \times 1 0 ^{23} \times 4.7 \times 1 0 ^{- 23}} \approx 9.1$ 。
長さの単位をそろえずに体積を計算してしまう誤り。一辺 $0.36 nm$ で $a^{3} = 0.3 6^{3}$ として $g/c m^{3}$ の密度を出すのは誤りで、正しくは $0.36 nm = 3.6 \times 1 0^{- 8} cm$ に直してから $a^{3} = (3.6 \times 1 0^{- 8})^{3} c m^{3}$ とする。
原子 1 個の質量をモル質量そのもの、あるいは $M \times N_{A}$ としてしまう誤り。正しくは $1 mol$ （ $N_{A}$ 個）の質量が $M [g]$ なので、1 個あたりは $\frac{M}{N _{A}}$ 。
単位格子中の原子の数が多いほど密度が大きいとだけ考え、一辺の長さの違いを無視してしまう誤り。同じ原子なら、正しくは $a$ も構造によって変わる（体心立方 $a = \frac{4 r}{3}$ 、面心立方 $a = \frac{4 r}{2}$ ）ので、密度は $\frac{n M}{N _{A} a ^{3}}$ に両方を入れて比べる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある金属 $M$ の結晶は体心立方格子で、単位格子は立方体であり、立方体の 8 つの頂点と中心に原子が 1 個ずつある。この単位格子の体積は $2.4 \times 1 0^{- 23} c m^{3}$ である。 $M$ のモル質量を $56 g/mol$ 、アボガドロ定数を $6.0 \times 1 0^{23} / mol$ とするとき、この結晶の密度は何 $g/c m^{3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。
体心立方格子の単位格子（原子は小さく描いている）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

不定比化合物と点欠陥（大学化学固体化学と結晶学）