単位格子の一辺と原子半径

原子の接し方から、単位格子の一辺 $a$ と原子半径 $r$ の関係（体心立方 $3 a = 4 r$ 、面心立方 $2 a = 4 r$ ）を求め、充塡率を計算できる

前提

単位格子中の原子の数と配位数（高校化学物質の構成と化学結合）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）

説明

金属の結晶では、原子を球とみなすと、球どうしがある決まった方向で接しながら並んでいます。この技能では、体心立方格子・面心立方格子で「どこで原子が接しているか」を見つけ、三平方の定理を使って単位格子の一辺の長さ $a$ と原子半径 $r$ の関係式をつくれるようになります。この関係を使うと、 $a$ から $r$ を求めたり、単位格子の体積のうち原子が占める割合（充塡率）を計算したりできます。

なぜそうしてよいのか

原子を半径 $r$ の球と考えます。2 つの球が接しているとき、中心どうしの距離は $2 r$ です。そこで、単位格子の中で原子が一直線に接して並んでいる線分を見つけ、その長さを「 $a$ を使った式」と「 $r$ を使った式」の 2 通りで表して等しいとおけば、 $a$ と $r$ の関係が得られます。

体心立方格子（立方体の 8 個の頂点と中心に原子がある）では、中心の原子は頂点の原子と接していますが、頂点どうしは接していません。原子が接して並ぶのは立方体の対角線（向かい合う頂点を立方体の内部を通って結ぶ線分）の上で、頂点の原子・中心の原子・反対側の頂点の原子が並ぶので、対角線の長さは $r + 2 r + r = 4 r$ です。一方、三平方の定理より、底面の対角線は $a^{2} + a^{2} = 2 a$ 、立方体の対角線は $(2 a)^{2} + a^{2} = 3 a$ です。よって $3 a = 4 r$ です。

面心立方格子（8 個の頂点と 6 個の面の中心に原子がある）では、各面の対角線の上で、頂点・面の中心・反対側の頂点の原子が接して並んでいます。面の対角線の長さは $2 a$ で、これが $4 r$ に等しいので $2 a = 4 r$ です。充塡率は $\frac{単位格子中の原子の体積の和}{単位格子の体積} = \frac{( 原子の数 ) \times \frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}}$ で求められ、関係式で $r$ を $a$ で表して代入すると、体心立方格子では $\frac{2 \times \frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}} = \frac{3 π}{8} \approx 0.68$ 、面心立方格子では $\frac{4 \times \frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}} = \frac{2 π}{6} \approx 0.74$ になります。

手順

結晶の構造（体心立方格子か面心立方格子か）から、原子が接して一直線に並んでいる線分を見つける（体心立方は立方体の対角線、面心立方は面の対角線）
その線分の長さを $a$ で表す（三平方の定理より、面の対角線 $2 a$ 、立方体の対角線 $3 a$ ）
同じ線分の長さを $r$ で表す（球が 2 個分並ぶので $4 r$ ）
2 つを等しいとおいて関係式をつくる（体心立方 $3 a = 4 r$ 、面心立方 $2 a = 4 r$ ）。求めたい方について解き、与えられた数値を代入する
充塡率を求めるときは $\frac{( 単位格子中の原子の数 ) \times \frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}}$ に関係式を代入する

例題

ある金属の結晶は、立方体の単位格子の 8 個の頂点と 6 個の面の中心に原子がある構造（面心立方格子）をとり、単位格子の一辺の長さは $0.40 nm$ である。原子を球とみなし、最も近い原子どうしは接しているものとする。 $2 = 1.41$ として、この原子の半径は何 nm か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 面心立方格子なので、原子が接して並んでいるのは各面の対角線の上です（頂点の原子・面の中心の原子・反対側の頂点の原子）。

手順 2: 面は一辺 $a$ の正方形なので、三平方の定理より対角線の長さは $a^{2} + a^{2} = 2 a$ です。

手順 3: 対角線上には半径 $r$ の球が $r + 2 r + r$ と並ぶので、長さは $4 r$ です。

手順 4: $2 a = 4 r$ より
$r = \frac{2 a}{4} = \frac{1.41 \times 0.40}{4} = 0.141$
有効数字 2 桁で、原子の半径は $0.14 nm$ です。

答え: $0.14$

よくある誤り

体心立方格子で、立方体の辺の上で原子が接していると考えてしまう誤り。 $a = 2 r$ とするのは誤りで、正しくは頂点どうしは接しておらず、立方体の対角線上で接しているので $3 a = 4 r$ 。
面心立方格子で、立方体の対角線を使ってしまう誤り。 $3 a = 4 r$ とするのは誤りで、正しくは面の中心の原子と頂点の原子が面の対角線上で接しているので $2 a = 4 r$ 。
対角線の長さを直径 1 個分や半径 2 個分としてしまう誤り。体心立方格子で $3 a = 2 r$ とするのは誤りで、正しくは対角線上に半径が $r + 2 r + r$ と並ぶので $4 r$ 。
充塡率の計算で、単位格子中の原子の数を掛け忘れる、または頂点・面の原子を丸ごと数えてしまう誤り。面心立方格子で $\frac{\frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}}$ や $\frac{14 \times \frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}}$ とするのは誤りで、正しくは原子の数 $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ を使って $\frac{4 \times \frac{4}{3} π r ^{3}}{a ^{3}} = \frac{2 π}{6}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある金属の結晶は面心立方格子で、単位格子は一辺の長さが $0.40 nm$ の立方体である。この結晶では、立方体の各面の対角線上で、頂点の原子と面の中心の原子とが接している。原子を球とみなすとき、この金属の原子半径は何 nm か。 $2 = 1.41$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。
$0.40 nm$
面心立方格子の単位格子（原子は小さく描いている）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

結晶の密度（高校化学物質の構成と化学結合）
イオン半径比と配位数（大学化学固体化学と結晶学）
充填率（大学化学固体化学と結晶学）