正負の数の乗除・累乗と四則混合

累乗（ $- 3^{2}$ と $(- 3)^{2}$ の区別を含む）・乗法・除法・加減の混じった正負の数の式を、計算の順序に従って計算できる

前提

正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）

この技能までの道筋（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）

説明

負の数をふくむかけ算・わり算と、同じ数を何回かかけ合わせる累乗（ $(- 2)^{3}$ など）を計算できるようになります。さらに、累乗・かけ算・わり算・たし算・ひき算が混じった式を、正しい順序で計算できるようになります。とくに $- 3^{2}$ と $(- 3)^{2}$ のちがいに気をつけます。

なぜそうしてよいのか

かけ算の符号 $(+ 3) \times (- 2)$ は、 $- 2$ を 3 回たすことなので $(- 2) + (- 2) + (- 2) = - 6$ です。かける数を $3, 2, 1, 0$ と 1 ずつ減らすと、 $(- 2) \times 3 = - 6$ 、 $(- 2) \times 2 = - 4$ 、 $(- 2) \times 1 = - 2$ 、 $(- 2) \times 0 = 0$ と、答えは 2 ずつ増えます。このきまりを続けると $(- 2) \times (- 1) = 2$ 、 $(- 2) \times (- 2) = 4$ となります。だから「同じ符号どうしの積は正、ちがう符号どうしの積は負」で、絶対値は絶対値どうしの積です。いくつもかけるときは、負の数が偶数個なら正、奇数個なら負になります。

わり算の符号 わり算はかけ算の逆です。 $(- 6) \div (- 2)$ は「 $(- 2) \times □ = - 6$ となる $□$ 」なので $3$ です。だから符号のきまりはかけ算と同じです。分数のときと同じく、わり算はわる数の逆数（ $- \frac{4}{3}$ の逆数は $- \frac{3}{4}$ 。符号はそのまま）をかけるかけ算になおせます。

累乗同じ数を何回かかけたものを累乗といい、 $(- 3) \times (- 3)$ を $(- 3)^{2}$ と書きます。右上の小さい数（指数）は、すぐ左にある数だけにかかります。 $(- 3)^{2}$ はかっこの中の $- 3$ を 2 回かけるので $9$ ですが、 $- 3^{2}$ は $3^{2} = 9$ にマイナスをつけたもの、つまり $- (3 \times 3) = - 9$ です。計算の順序は、小学校で習った順序に累乗を加えて「① かっこの中 → ② 累乗 → ③ かけ算・わり算 → ④ たし算・ひき算」になります。

手順

かっこの中を先に計算する
累乗を計算する。指数がどの数にかかっているか（ $(- 3)^{2} = 9$ 、 $- 3^{2} = - 9$ ）を確かめる
かけ算・わり算だけの部分は、わり算を逆数のかけ算になおし、まず負の数の個数で符号を決め（偶数個なら正、奇数個なら負）、絶対値どうしをかけて約分する
最後にたし算・ひき算を、かっこをはずして計算する

例題

$- 3^{2} + (- 2)^{3} \div \frac{4}{3} \times (- \frac{1}{2})$ を計算せよ。

例題の解答

【手順 1】かっこの中はそれ以上計算するところがありません。

【手順 2】累乗を計算します。 $- 3^{2}$ は $3^{2} = 9$ にマイナスをつけて $- 9$ 。 $(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$ です。
$- 9 + (- 8) \div \frac{4}{3} \times (- \frac{1}{2})$

【手順 3】かけ算・わり算の部分を計算します。 $\div \frac{4}{3}$ を $\times \frac{3}{4}$ になおすと
$(- 8) \times \frac{3}{4} \times (- \frac{1}{2})$
負の数は 2 個（偶数個）なので符号は正。絶対値は $8 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = 3$ なので、この部分は $+ 3$ です。

【手順 4】たし算をします。
$- 9 + 3 = - 6$

答え: $- 6$

よくある誤り

$- 3^{2}$ を $(- 3) \times (- 3)$ と考えて $- 3^{2} = 9$ としてしまう誤り。正しくは、指数 2 は 3 だけにかかるので $- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$
$(- 2)^{3}$ の符号を正にして $8$ としてしまう誤り。正しくは、負の数を 3 個（奇数個）かけるので $(- 2)^{3} = - 8$
たし算をかけ算より先にして、 $- 9 + (- 8) \div \frac{4}{3} \times (- \frac{1}{2})$ を $(- 17) \div \frac{4}{3} \times (- \frac{1}{2})$ と計算してしまう誤り。正しくは、かけ算・わり算を先にして $- 9 + 3 = - 6$
わる数を逆数にするときに符号まで変えて、 $\div (- \frac{4}{3})$ を $\times \frac{3}{4}$ としてしまう誤り。正しくは、逆数は符号を変えないので $\div (- \frac{4}{3}) = \times (- \frac{3}{4})$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算をしなさい。
$- 2^{2} + (- 3)^{2} \times 2 \div (- 6)$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

n 進法（数学A 整数の性質）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）