n 進法

10 進数と $n$ 進数を相互に変換でき、 $n$ 進数の桁の値や各桁の数の和を求められる

前提

正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）

説明

$n$ 進法とは、 $1, n, n^{2}, n^{3}, \dots$ を位取りの単位にして、 $0$ から $n - 1$ までの数字で整数を表す方法です。ふだん使う 10 進法の $10$ を、別の自然数 $n$ （ $n \geq 2$ ）に置き換えたものと考えられます。この技能を使うと、10 進数と $n$ 進数を相互に変換したり、 $n$ 進数の各桁が表す値や各桁の数の和を求めたりできます。コンピュータで使う 2 進法や、桁の数に関する整数の問題などで使います。

なぜそうしてよいのか

10 進法の $3254$ は $3 \times 1 0^{3} + 2 \times 1 0^{2} + 5 \times 10 + 4 \times 1$ という意味です。右から順に $1$ の位、 $10$ の位、 $1 0^{2}$ の位、…となり、 $10$ 個集まるごとに 1 つ上の位に繰り上がるので、各桁の数字は $0$ から $9$ までで足ります。これを $n$ 個集まるごとに繰り上げる仕組みに変えたのが $n$ 進法です。右から順に $1 (= n^{0})$ の位、 $n$ の位、 $n^{2}$ の位、…となり、各桁の数字は $0$ から $n - 1$ までです。10 進数と区別するため、 $n$ 進数は $324 1_{(5)}$ のように右下に $(n)$ を付けて書きます。たとえば $324 1_{(5)} = 3 \times 5^{3} + 2 \times 5^{2} + 4 \times 5 + 1$ です。

逆に 10 進数を $n$ 進数に直すには、 $n$ で割り続けます。 $N$ を $n$ 進数で $a_{k} \dots a_{1} a_{0}_{(n)}$ と表したとすると、 $N = (a_{k} n^{k - 1} + \dots + a_{1}) \times n + a_{0}$ で、 $0 \leq a_{0} \leq n - 1$ です。つまり $N$ を $n$ で割った余りが一番下の桁 $a_{0}$ で、商は残りの桁 $a_{k} \dots a_{1}_{(n)}$ を表す数になります。この商をまた $n$ で割れば余りが $a_{1}$ …と、下の桁から順に数字が求まります。商が $0$ になったら終わりです。

手順

$n$ 進数を 10 進数に直すとき: 右端の桁から順に、各桁の位の値 $1, n, n^{2}, n^{3}, \dots$ を書き出す（右端は $n^{0} = 1$ の位）。
各桁の数字にその位の値を掛けて、すべて足す。例: $a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}_{(n)} = a_{3} n^{3} + a_{2} n^{2} + a_{1} n + a_{0}$
10 進数を $n$ 進数に直すとき: その数を $n$ で割って商と余りを求め、商を再び $n$ で割る。これを商が $0$ になるまで繰り返す。
出てきた余りを、最後に出た余りから最初の余りへ（下から上へ）並べると $n$ 進数になる。
各桁の数の和や特定の桁の値を問われたら、 $n$ 進数に直してから各桁の数字を読み取る。各桁の数字が $0$ 以上 $n - 1$ 以下になっているか確認する。

例題

5 進数 $324 1_{(5)}$ を 10 進数で表せ。

例題の解答

手順 1: 右端から位の値を書き出すと、 $1$ の位が $1$ 、 $5$ の位が $4$ 、 $5^{2} = 25$ の位が $2$ 、 $5^{3} = 125$ の位が $3$ である。

手順 2: 各桁の数字と位の値の積を足す。
$324 1_{(5)} = 3 \times 125 + 2 \times 25 + 4 \times 5 + 1 \times 1 = 375 + 50 + 20 + 1 = 446$

確認として手順 3・4 で $446$ を 5 進数に戻す。 $446 \div 5 = 89$ 余り $1$ 、 $89 \div 5 = 17$ 余り $4$ 、 $17 \div 5 = 3$ 余り $2$ 、 $3 \div 5 = 0$ 余り $3$ 。余りを下から並べると $324 1_{(5)}$ となり、一致する。

よって答えは $446$ 。

答え: $446$

よくある誤り

余りを出てきた順（上から下）に並べてしまう誤り。最初の余りは一番下の桁なので、正しくは下から上へ並べる。例: $11$ を 2 進数にすると余りは順に $1, 1, 0, 1$ で、正しくは $101 1_{(2)}$ （ $110 1_{(2)}$ は誤り）。
右端の桁の位を $n$ としてしまう誤り。右端は $n^{0} = 1$ の位である。例: $21 3_{(4)}$ は $2 \times 4^{3} + 1 \times 4^{2} + 3 \times 4$ ではなく、正しくは $2 \times 4^{2} + 1 \times 4 + 3 = 39$ 。
$n$ 以上の数字を桁に使ってしまう誤り。 $n$ 進法の各桁は $0$ から $n - 1$ まで。例: 3 進数で「 $13$ 」と書くことはできず、 $1 \times 3 + 3 = 6$ は正しくは $2 0_{(3)}$ 。
途中の桁の $0$ を飛ばしてしまう誤り。例: $1020 1_{(3)}$ の $3$ の位と $27$ の位は $0$ なので、 $1 \times 81 + 0 \times 27 + 2 \times 9 + 0 \times 3 + 1 = 100$ となる。 $0$ の桁を詰めて $12 1_{(3)}$ とすると $16$ になり誤り。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

言語の条件から DFA を作る（余り・接尾辞・積構成）（大学数学オートマトン・形式言語）
繰り返し二乗法によるべき剰余（大学数学暗号理論）
楕円曲線のスカラー倍と点の位数（大学数学暗号理論）
ニムとニム和（大学数学ゲーム理論）
p 進付値と p 進収束（大学院数学代数的整数論）