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整数の性質

扱うテーマ: 約数と倍数・約数の個数と総和、最大公約数と最小公倍数・ユークリッドの互除法、1 次不定方程式 ax+by=c の整数解、余りによる分類・合同式、n 進法

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を求めよ。答えは（個数, 総和）の順の組で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$200$ の正の約数の個数と、正の約数の総和を、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの正の整数 $a, b$ の最大公約数が $12$ 、最小公倍数が $180$ であるとする。 $a = 36$ のとき、 $b$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの正の整数 $a, b$ は $a < b$ を満たしています。 $a$ と $b$ の最大公約数は $8$ 、最小公倍数は $240$ で、 $a + b = 88$ です。組 $(a, b)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの正の整数 $a, b$ $(a < b)$ があり、最大公約数は $6$ 、最小公倍数は $72$ である。 $a, b$ がともに 2 けたの整数であるとき、組 $(a, b)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
整数 $n$ を $5$ で割ると余りが $3$ である。このとき、 $n^{2}$ を $5$ で割った余りを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を整数とする。 $n^{2} + n$ を $3$ で割った余りとして考えられる値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を整数とする。 $n^{2} + 1$ を $3$ で割った余りとして考えられる値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$50!$ が $3^{k}$ で割り切れるような $0$ 以上の整数 $k$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$40!$ が $3^{k}$ で割り切れるような $0$ 以上の整数 $k$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$40! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 40$ が $3^{k}$ で割り切れるような $0$ 以上の整数 $k$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$4$ 進法で表された数 $213 2_{(4)}$ を $10$ 進法で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$5$ 進法で表された数 $120 3_{(5)}$ を $10$ 進法で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$5$ 進法で表された数 $231 4_{(5)}$ を $10$ 進法で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ユークリッドの互除法を用いて、 $2$ つの整数 $437$ と $323$ の最大公約数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ユークリッドの互除法を用いて、 $667$ と $437$ の最大公約数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ユークリッドの互除法を用いて、 $437$ と $323$ の最大公約数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y$ はいずれも $1$ 以上 $10$ 以下の整数とする。 $x^{2} + y^{2}$ が $5$ で割り切れるような整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y$ はいずれも $1$ 以上 $10$ 以下の整数とする。 $x^{2} + y^{2}$ が $5$ で割り切れるような整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1 ≦ n ≦ 50$ を満たす整数 $n$ のうち、 $n^{2} + 1$ が $5$ で割り切れるものは何個あるか求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $9 x + 7 y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めると、整数 $p, q$ を用いて $x = 7 k + p, y = - 9 k + q (k は整数)$ と表すことができる。 $0 ≦ p ≦ 6$ となるように表したとき、 $p, q$ の値を組 $(p, q)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $11 x + 4 y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて考える。それらのうち、 $x$ が $10$ 以上で最小となる組を求めよ。答えは組 $(x, y)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $9 x + 7 y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ のうち、 $x$ が最小の正の整数となるものを求めよ。答えは組 $(x, y)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 210$ を満たす整数とする。 $n^{2} - n$ が $35$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 350$ を満たす整数とする。 $n^{2} - n$ が $35$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1 ≦ n ≦ 150$ を満たす整数 $n$ のうち、 $n^{2} - 1$ が $15$ で割り切れるものの個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 110$ を満たす整数とする。 $2^{n} + n$ が $5$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 100$ を満たす整数とする。 $2^{n} + n$ が $3$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 205$ を満たす整数とする。 $4^{n} + n$ が $5$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $9 x + 4 y = 200$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて考える。それらのうち、 $x + y$ の値が最小となるものについて、 $x + y$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個 $70$ 円の品物 A と 1 個 $110$ 円の品物 B を、どちらも少なくとも 1 個ずつ買い、代金の合計をちょうど $2000$ 円にしたい。A を $x$ 個、B を $y$ 個買うとすると $70 x + 110 y = 2000$ が成り立つ。このような買い方（正の整数の組 $(x, y)$ ）は何通りあるか。ただし、消費税は考えないものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $7 x + 4 y = 150$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ のうち、 $x$ が最大となるものを求めよ。答えは組 $(x, y)$ の形で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
方程式 $13 x + 8 y = 1001$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ は何組あるか。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$n$ は $1 ≦ n ≦ 100$ を満たす整数とする。 $3 n + 4$ と $5 n + 1$ の最大公約数が $1$ より大きくなるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
方程式 $13 x + 8 y = 300$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて考える。それらのうち積 $x y$ が最大となるものについて、 $x y$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b$ を正の整数とし、 $n = 2^{a} \cdot 3^{b}$ とする。 $n$ の正の約数の個数が $12$ 個であり、正の約数の総和が $280$ であるとき、 $n$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の整数 $N$ を $5$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $ab c_{(5)}$ になり、 $9$ 進法で表すと、その数字の並びを逆にした $3$ 桁の数 $c b a_{(9)}$ になる。ここで $a, b, c$ は各位の数字である。 $N$ を $10$ 進法で求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の整数 $n$ に対して、 $5 n + 3$ と $3 n + 1$ の最大公約数を $d_{n}$ とする。 $n = 1, 2, 3, \dots, 100$ のときの $d_{n}$ の和
$d_{1} + d_{2} + d_{3} + \dots + d_{100}$
を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の整数 $N$ を $6$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $ab c_{(6)}$ になり、 $9$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $c b a_{(9)}$ になる。ただし、 $a, b, c$ はそれぞれの位の数字を表す。 $N$ を $10$ 進法で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
正の整数 $n$ に対して、 $3 n + 7$ と $5 n + 2$ の最小公倍数を $L$ とする。 $n ≦ 200$ を満たす正の整数 $n$ のうち、
$L = \frac{( 3 n + 7 ) ( 5 n + 2 )}{29}$
が成り立つものすべての和を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$1 ≦ n ≦ 300$ を満たす整数 $n$ のうち、 $n^{2} + n + 1$ が $21$ で割り切れるものの個数を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
正の整数 $x, y$ が
$11 x + 7 y = 500$
を満たすとする。このような組 $(x, y)$ のうち、 $∣ x - y ∣$ が最小となるものを求めよ。答えは組 $(x, y)$ の形で答えよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ , $b$ を正の整数とし、 $n = 2^{a} \cdot 3^{b}$ とする。 $n$ の正の約数の個数は $12$ 個であり、 $n$ の正の約数のうち偶数であるものの総和は $240$ である。 $n$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は $1 ≦ n ≦ 200$ を満たす整数とする。2 つの整数 $n^{2} + 2$ と $n + 4$ の最大公約数が $6$ となるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 100$ を満たす整数とする。 $2^{n} - n^{2}$ が $7$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$3$ 進法で表したとき、どの位の数字も $0$ または $1$ である正の整数を、小さい順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ とする。たとえば $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 4, a_{4} = 9$ である。
このとき、和 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{100}$ を $10$ 進法で求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
正の整数 $n$ に対して、 $n$ の正の約数の個数を $d (n)$ とする。 $n = 8 d (n)$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
方程式 $6 x + 10 y + 15 z = 1000$ を満たす正の整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
正の整数 $n$ について、 $n$ の正の約数の個数は $6$ であり、 $n$ の正の約数すべての逆数の和は $\frac{14}{9}$ である。このような $n$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 2025$ を満たす整数とする。 $2^{n} + n^{3}$ が $15$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$1 ≦ n ≦ 1000$ を満たす整数 $n$ のうち、 $3^{n} + n^{2}$ が $7$ で割り切れるものは何個あるか求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
正の整数 $n$ に対して、方程式
$7 x + 10 y = n$
を満たす正の整数の組 $(x, y)$ がちょうど $5$ 個存在するとする。このような $n$ のうち最大のものを求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
正の約数の個数が $6$ であり、正の約数の総和が $1274$ である正の整数 $n$ をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
互いに素な正の整数の組 $(a, b)$ から始めて、次の操作をくり返す。
「2 つの数が異なるとき、大きい方の数を、大きい方から小さい方を引いた数に置き換える。」
2 つの数が等しくなったら操作を終える。このとき 2 つの数はともに $1$ になっている。終えるまでに行った操作の回数を $T (a, b)$ とする。たとえば $(3, 5) \to (3, 2) \to (1, 2) \to (1, 1)$ より $T (3, 5) = 3$ である。
$a + b = 100$ を満たす互いに素な正の整数の組 $(a, b)$ 全体を考えるとき、 $T (a, b)$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
正の整数 $n$ のうち、 $n^{3}$ の正の約数の個数が $n$ に等しいものをすべて求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$x, y, z$ はいずれも $1$ 以上 $100$ 以下の整数とする。 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ が $7$ で割り切れるような整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
正の整数 $n$ に対し、 $n!$ が $3^{k}$ で割り切れるような $0$ 以上の整数 $k$ の最大値を $e (n)$ とする。 $1 ≦ n ≦ 500$ を満たす整数 $n$ のうち、 $n - 2 e (n) = 4$ が成り立つものの個数を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$m, n$ は $1 ≦ m < n ≦ 60$ を満たす整数とする。 $2$ つの整数 $2^{m} - 1$ と $2^{n} - 1$ の最大公約数が $15$ となるような組 $(m, n)$ の個数を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$0$ 以上の整数 $n$ に対して、方程式 $7 x + 11 y = n$ を満たす $0$ 以上の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f (n)$ とする。 $f (n) = 3$ となる $0$ 以上の整数 $n$ は有限個である。それらすべての和を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
正の整数 $n$ に対し、 $n$ の正の約数の個数を $d (n)$ で表す。 $n = 24 d (n)$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$n$ を $1 ≦ n ≦ 1000$ を満たす整数とする。 $n^{5} - n$ が $1000$ で割り切れるような $n$ すべての和を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$2^{12}$ 未満の正の整数 $N$ のうち、次の 2 つの条件をともに満たすものを考える。
- $N$ を $2$ 進法で表したとき、数字 $1$ がちょうど $4$ 個現れる。
- $N$ は $7$ で割り切れる。
このような $N$ すべての総和を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$m, n$ は $1 ≦ m ≦ 20$ , $1 ≦ n ≦ 20$ を満たす整数とする。2 つの整数 $4^{m} - 1$ と $8^{n} - 1$ の最大公約数が $63$ となるような整数の組 $(m, n)$ の個数を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$0$ 以上の整数 $x, y$ を用いて $7 x + 11 y$ の形に表すことができない正の整数をすべて考える。それらすべての和を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
正十七角形の頂点に、時計回りに順に $1, 2, 3, \dots, 17$ の番号が付けられている。この $17$ 個の頂点から、どの $2$ つも隣り合わないように $4$ 個の頂点を選ぶ（頂点 $17$ と頂点 $1$ も隣り合っている）。選んだ $4$ 個の頂点の番号の和が $17$ で割り切れるような選び方は何通りあるか。