整数の性質の問題

1. 平方数を $7$ で割った余り

整数 $x$ を $7$ で割った余りで分類すると、次のようになる。
$$0^2\equiv 0,1^2\equiv 6^2\equiv 1,2^2\equiv 5^2\equiv 4,3^2\equiv 4^2\equiv 2(\mathrm{mod}7)$$
よって、$x^2$ を $7$ で割った余りは $0,1,2,4$ のいずれかである。

2. 余りの組合せ

$x^2,y^2,z^2$ を $7$ で割った余りを $a,b,c$ とする。$a,b,c\in \{0,1,2,4\}$ で $a+b+c\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ となる場合を調べる。

• $0$ が $3$ 個のとき:$(0,0,0)$ は条件を満たす。
• $0$ がちょうど $2$ 個のとき:残りの $1$ つは $0$ でないので、和は $7$ の倍数にならない。
• $0$ がちょうど $1$ 個のとき:残りの $2$ つ $b,c\in \{1,2,4\}$ について $b+c\equiv 0$ が必要である。$b=1,2,4$ に対して必要な $c$ はそれぞれ $6,5,3$ で、どれも $\{1,2,4\}$ に含まれない。よって不適である。
• $0$ を含まないとき:$\{1,2,4\}$ から重複を許して $3$ つ選ぶ組合せの和を $7$ で割った余りは次のとおりである。
• $1+1+1=3$
• $1+1+2=4$
• $1+1+4=6$
• $1+2+2=5$
• $1+2+4=7\equiv 0$
• $1+4+4=9\equiv 2$
• $2+2+2=6$
• $2+2+4=8\equiv 1$
• $2+4+4=10\equiv 3$
• $4+4+4=12\equiv 5$

余りが $0$ になるのは $\{1,2,4\}$ のときだけである。

したがって条件を満たすのは、次のどちらかである。
- $(a,b,c)=(0,0,0)$
- $(a,b,c)$ が $(1,2,4)$ の並べ替え($3!=6$ 通り)

3. $1\leqq x\leqq 100$ での個数

$100=7\cdot 14+2$ なので、$7$ で割った余りが $1,2$ の整数は $15$ 個ずつあり、余りが $0,3,4,5,6$ の整数は $14$ 個ずつある。これより、$x^2$ の余りごとの $x$ の個数は次のとおりである。
- $x^2\equiv 0$:$x\equiv 0$ なので $14$ 個
- $x^2\equiv 1$:$x\equiv 1,6$ なので $15+14=29$ 個
- $x^2\equiv 4$:$x\equiv 2,5$ なので $15+14=29$ 個
- $x^2\equiv 2$:$x\equiv 3,4$ なので $14+14=28$ 個

(確認:$14+29+29+28=100$)

4. 組の個数

• $(0,0,0)$ の場合:$14^3=2744$ 個
• $(1,2,4)$ の並べ替えの場合:各並べ替えについて $29\cdot 28\cdot 29=23548$ 個あるので、$6\cdot 23548=141288$ 個

よって求める個数は
$$2744+141288=144032$$

7 を法とする平方数の余りを考える。$n\mathrm{mod}7$ が $0$ なら $n^2\equiv 0$、$1,6$ なら $1$、$2,5$ なら $4$、$3,4$ なら $2$ である。

$1$ 以上 $100$ 以下の整数では、$100=7\cdot 14+2$ より、余りが $1,2$ の数は各 $15$ 個、余りが $0,3,4,5,6$ の数は各 $14$ 個である。したがって $n^2\mathrm{mod}7$ の値ごとの個数は次のとおり。
- $0$：$14$ 個
- $1$（余り $1,6$）：$15+14=29$ 個
- $4$（余り $2,5$）：$15+14=29$ 個
- $2$（余り $3,4$）：$14+14=28$ 個

合計は $14+29+29+28=100$ で正しい。

平方の余りの組 $(a,b,c)$ で $a+b+c\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ となるものを調べる。$a,b,c\in \{0,1,2,4\}$ なので和は $0,7,14$ のいずれか。
- 和が $0$：$(0,0,0)$
- 和が $7$：$\{1,2,4\}$
- 和が $14$：最大でも $12$ なので不可
- $0$ を $1$ つか $2$ つ含む場合：残りの和が $7$ の倍数になる組はなく不可

$(0,0,0)$ の場合は $14^3=2744$ 通り。
$\{1,2,4\}$ の場合は、順序が $3!=6$ 通りあるので $6\cdot 29\cdot 28\cdot 29=6\cdot 23548=141288$ 通り。

合計は $2744+141288=144032$ である。