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整数の性質の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学A 整数の性質

$n$ を $1 ≦ n ≦ 2025$ を満たす整数とする。 $2^{n} + n^{3}$ が $15$ で割り切れるような $n$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

累乗の余りの周期（説明と入口の問題）
合同式（説明と入口の問題）
互いに素な法への分解（説明と入口の問題）
余りによる整数の分類（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$15 = 3 \cdot 5$ なので、 $3$ で割り切れる条件と $5$ で割り切れる条件に分けて考えましょう。 $2^{n}$ と $n^{3}$ の余りはそれぞれ周期的に変化します。

ヒント 2

$mod 3$ では $n^{3} \equiv n$ 、 $2^{n} \equiv (- 1)^{n}$ が成り立ちます。 $mod 5$ では $2^{n}$ の余りが周期 $4$ で繰り返すので、 $n$ を $5$ で割った余りと $4$ で割った余りの組で考えましょう。

ヒント 3

$3$ で割り切れる条件は「 $n$ 偶数かつ $n \equiv 2 (mod 3)$ 」または「 $n$ 奇数かつ $n \equiv 1 (mod 3)$ 」です。 $5$ で割り切れる条件は $n \equiv 3, 4, 6, 17 (mod 20)$ です。これらを $60$ を法として組み合わせ、 $1$ から $2025$ までにいくつあるか数えましょう。

答えと解説

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136

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解説を読む

$N = 2^{n} + n^{3}$ とおく。 $15 = 3 \cdot 5$ で、 $3$ と $5$ は互いに素であるから、 $N$ が $15$ で割り切れることは、 $N$ が $3$ でも $5$ でも割り切れることと同値である。

(1) $3$ で割り切れる条件

$n \equiv 0, 1, 2 (mod 3)$ のとき、 $n^{3} \equiv 0, 1, 8 \equiv 0, 1, 2 (mod 3)$ となる。よって、つねに $n^{3} \equiv n (mod 3)$ である。また $2 \equiv - 1 (mod 3)$ より $2^{n} \equiv (- 1)^{n} (mod 3)$ である。したがって
$N \equiv (- 1)^{n} + n (mod 3)$
となる。

$n$ が偶数のとき、 $N \equiv 1 + n (mod 3)$ である。よって $N \equiv 0 ⟺ n \equiv 2 (mod 3)$ である。
$n$ が奇数のとき、 $N \equiv - 1 + n (mod 3)$ である。よって $N \equiv 0 ⟺ n \equiv 1 (mod 3)$ である。

まとめると、 $N$ が $3$ で割り切れる条件は「 $n$ が偶数かつ $n \equiv 2 (mod 3)$ 」または「 $n$ が奇数かつ $n \equiv 1 (mod 3)$ 」である。

(2) $5$ で割り切れる条件

$2^{1} = 2, 2^{2} = 4, 2^{3} = 8 \equiv 3, 2^{4} = 16 \equiv 1 (mod 5)$ であるから、 $2^{n} mod 5$ は周期 $4$ で繰り返す。具体的には、 $n \equiv 1, 2, 3, 0 (mod 4)$ に応じて $2^{n} \equiv 2, 4, 3, 1 (mod 5)$ である。

一方、 $n \equiv 0, 1, 2, 3, 4 (mod 5)$ に応じて、 $n^{3} \equiv 0, 1, 8, 27, 64 \equiv 0, 1, 3, 2, 4 (mod 5)$ である。

$N \equiv 0 (mod 5)$ となるのは $2^{n} \equiv - n^{3} (mod 5)$ のときである。 $n$ を $5$ で割った余りで場合分けする。

$n \equiv 0$ のとき、 $- n^{3} \equiv 0$ である。 $2^{n}$ は $5$ の倍数にならないので不適である。
$n \equiv 1$ のとき、 $- n^{3} \equiv - 1 \equiv 4$ である。よって $2^{n} \equiv 4$ 、すなわち $n \equiv 2 (mod 4)$ である。
$n \equiv 2$ のとき、 $- n^{3} \equiv - 3 \equiv 2$ である。よって $n \equiv 1 (mod 4)$ である。
$n \equiv 3$ のとき、 $- n^{3} \equiv - 2 \equiv 3$ である。よって $n \equiv 3 (mod 4)$ である。
$n \equiv 4$ のとき、 $- n^{3} \equiv - 4 \equiv 1$ である。よって $n \equiv 0 (mod 4)$ である。

これらを $20$ を法としてまとめる。

$n \equiv 1 (mod 5), n \equiv 2 (mod 4) \Rightarrow n \equiv 6 (mod 20)$
$n \equiv 2 (mod 5), n \equiv 1 (mod 4) \Rightarrow n \equiv 17 (mod 20)$
$n \equiv 3 (mod 5), n \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow n \equiv 3 (mod 20)$
$n \equiv 4 (mod 5), n \equiv 0 (mod 4) \Rightarrow n \equiv 4 (mod 20)$

よって、 $N$ が $5$ で割り切れる条件は $n \equiv 3, 4, 6, 17 (mod 20)$ である。

(3) 条件を合わせる

(1) と (2) を同時に満たす $n$ を $60$ を法として求める。 $n mod 20$ が決まれば $n$ の偶奇も決まるので、(1) では $3$ で割った余りだけを調べればよい。

$n \equiv 6 (mod 20)$ は偶数なので $n \equiv 2 (mod 3)$ が必要である。候補は $6, 26, 46$ で、 $3$ で割った余りはそれぞれ $0, 2, 1$ である。よって $n \equiv 26$ である。
$n \equiv 4 (mod 20)$ は偶数なので $n \equiv 2 (mod 3)$ が必要である。候補は $4, 24, 44$ で、余りはそれぞれ $1, 0, 2$ である。よって $n \equiv 44$ である。
$n \equiv 17 (mod 20)$ は奇数なので $n \equiv 1 (mod 3)$ が必要である。候補は $17, 37, 57$ で、余りはそれぞれ $2, 1, 0$ である。よって $n \equiv 37$ である。
$n \equiv 3 (mod 20)$ は奇数なので $n \equiv 1 (mod 3)$ が必要である。候補は $3, 23, 43$ で、余りはそれぞれ $0, 2, 1$ である。よって $n \equiv 43$ である。

したがって、求める条件は
$n \equiv 26, 37, 43, 44 (mod 60)$
である。

(確認) $2^{4} \equiv 1 (mod 15)$ を用いる。 $n = 43$ のとき、 $43 = 4 \cdot 10 + 3$ より $2^{43} \equiv 2^{3} = 8$ であり、 $43 \equiv - 2$ より $4 3^{3} \equiv - 8$ である。よって $N \equiv 8 - 8 = 0 (mod 15)$ となり、正しい。

(4) 個数を数える

$2025 = 60 \cdot 33 + 45$ である。 $1 ≦ n ≦ 1980$ には $60$ 個ずつの組が $33$ 組あり、各組に $4$ 個ずつ含まれるので $33 \cdot 4 = 132$ 個である。 $1981 ≦ n ≦ 2025$ では、 $n$ を $60$ で割った余りは $1$ から $45$ までをとり、 $26, 37, 43, 44$ はすべて $45$ 以下である。よって、この範囲に $4$ 個ある。

以上より、求める個数は $132 + 4 = 136$ である。

別解

$15 = 3 \cdot 5$ なので、mod 3 と mod 5 の条件を別々に調べる。

mod 3: $2 \equiv - 1$ より $2^{n} \equiv (- 1)^{n}$ 。また $n^{3} \equiv n (mod 3)$ 。よって $(- 1)^{n} + n \equiv 0 (mod 3)$ が条件である。 $n mod 6$ で調べると、 $n \equiv 1$ のとき $- 1 + 1 = 0$ 、 $n \equiv 2$ のとき $1 + 2 = 3 \equiv 0$ で成立する。 $n \equiv 0, 3, 4, 5$ のときは値が $1, - 1, 2, 1$ となり成立しない。したがって $n \equiv 1, 2 (mod 6)$ 。

mod 5: $2^{n}$ の周期は 4、 $n^{3}$ の周期は 5 なので、全体の周期は 20。
- $n \equiv 0 (mod 4)$ のとき $2^{n} \equiv 1$ 。 $n^{3} \equiv 4$ より $n \equiv 4 (mod 5)$ 。このとき $n \equiv 4 (mod 20)$ 。
- $n \equiv 1 (mod 4)$ のとき $2^{n} \equiv 2$ 。 $n^{3} \equiv 3$ より $n \equiv 2 (mod 5)$ 。このとき $n \equiv 17 (mod 20)$ 。
- $n \equiv 2 (mod 4)$ のとき $2^{n} \equiv 4$ 。 $n^{3} \equiv 1$ より $n \equiv 1 (mod 5)$ 。このとき $n \equiv 6 (mod 20)$ 。
- $n \equiv 3 (mod 4)$ のとき $2^{n} \equiv 3$ 。 $n^{3} \equiv 2$ より $n \equiv 3 (mod 5)$ 。このとき $n \equiv 3 (mod 20)$ 。

よって $n \equiv 3, 4, 6, 17 (mod 20)$ 。

合わせる: 周期は $lcm (6, 20) = 60$ 。mod 20 の各残基 $r$ について $r, r + 20, r + 40$ を mod 6 で調べる。
- $r = 3$ : $3, 23, 43$ は mod 6 で $3, 5, 1$ なので $43$ が適する。
- $r = 4$ : $4, 24, 44$ は mod 6 で $4, 0, 2$ なので $44$ が適する。
- $r = 6$ : $6, 26, 46$ は mod 6 で $0, 2, 4$ なので $26$ が適する。
- $r = 17$ : $17, 37, 57$ は mod 6 で $5, 1, 3$ なので $37$ が適する。

以上より、mod 60 で $n \equiv 26, 37, 43, 44$ の 4 個が条件を満たす。

個数: $2025 = 60 \cdot 33 + 45$ 。 $1 \leq n \leq 1980$ では $33 \times 4 = 132$ 個。残りの $1981 \leq n \leq 2025$ は mod 60 で $1$ から $45$ に対応し、 $26, 37, 43, 44$ がすべて含まれるので 4 個。合計 $132 + 4 = 136$ 個。

検算: $n = 26$ で $2^{26} mod 15$ を調べる。 $2^{4} \equiv 1$ より $2^{26} \equiv 2^{2} = 4$ 。 $2 6^{3} \equiv 1 1^{3} = 1331 \equiv 1331 - 1320 = 11$ 。 $4 + 11 = 15 \equiv 0$ で成立。

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