整数の性質の問題

手順 1：$2^n$ を $3$ で割った余りの周期を調べる。

$2\equiv -1(\mathrm{mod}3)$ より $2^n\equiv (-1{)}^n(\mathrm{mod}3)$ である。実際に並べると
$$2^1\equiv 2,2^2\equiv 1,2^3\equiv 2,2^4\equiv 1,\dots (\mathrm{mod}3)$$
となる。よって $2^n$ を $3$ で割った余りは $2,1$ の 周期 $2$ でくり返す。

手順 2：$n$ を $3$ で割った余りの周期を調べる。

$n$ を $3$ で割った余りは $1,2,0$ の 周期 $3$ でくり返す。

手順 3：和の周期を求める。

$2^n+n$ を $3$ で割った余りは、$2$ と $3$ の最小公倍数 $6$ を周期としてくり返す。そこで $n=1,2,\dots ,6$ について調べる。

よって、$1$ 周期（$6$ 個）の中で条件を満たすのは $n=1,2$ の $2$ 個である。$n\equiv 1,2(\mathrm{mod}6)$ のときに限り $3$ で割り切れる。

手順 4：範囲内の個数を数える。

$100=6\times 16+4$ より、$1\leqq n\leqq 96$ には周期がちょうど $16$ 回含まれ、条件を満たす $n$ は $2\times 16=32$ 個ある。

残りの $n=97,98,99,100$ は、$6$ で割った余りがそれぞれ $1,2,3,4$ である。このうち条件を満たすのは $n=97,98$ の $2$ 個である（確認：$97$ は奇数なので $2^{97}\equiv 2$、$97\equiv 1$ より和 $\equiv 0$。$98$ は偶数なので $2^{98}\equiv 1$、$98\equiv 2$ より和 $\equiv 0$）。

したがって、求める個数は
$$32+2=34\text{(個)}$$

$2^n\equiv (-1{)}^n(\mathrm{mod}3)$ なので、$2^n+n\equiv (-1{)}^n+n(\mathrm{mod}3)$。これは $n$ を $6$ で割った余りだけで決まる（$n$ の偶奇と $3$ で割った余りが $6$ ごとに繰り返すため）。

$n\equiv 1$: $-1+1=0$ なので成り立つ。
$n\equiv 2$: $1+2=3\equiv 0$ なので成り立つ。
$n\equiv 3$: $-1+0=-1$ なので不成立。
$n\equiv 4$: $1+1=2$ なので不成立。
$n\equiv 5$: $-1+2=1$ なので不成立。
$n\equiv 0$: $1+0=1$ なので不成立。

よって条件は $n\equiv 1,2(\mathrm{mod}6)$ と同値。

$1\le n\le 96$ は $16$ 組の周期なので $16\times 2=32$ 個。$97,98,99,100$ の余りは $1,2,3,4$ で、条件を満たすのは $97,98$ の $2$ 個。
合計 $32+2=34$ 個。

検算：$n=1$ は $3$、$n=2$ は $6$、$n=7$ は $135$ で、いずれも $3$ の倍数。$n=3$ は $11$、$n=4$ は $20$ で、$3$ の倍数ではない。