整数の性質の問題

方針：法 $35$ を互いに素な $5$ と $7$ に分ける。

$35=5\times 7$ で、$5$ と $7$ は互いに素である。したがって
$$n^2-n\text{ が }35\text{ で割り切れる}⟺n^2-n\text{ が }5\text{ でも }7\text{ でも割り切れる}$$
である。$5$ を法とする条件と $7$ を法とする条件を別々に調べる。

(1) $5$ を法とする条件

$n^2-n=n(n-1)$ である。$n$ を $5$ で割った余りで分類すると、$5$ を法として
- $n\equiv 0$ のとき $n(n-1)\equiv 0\cdot (-1)=0$
- $n\equiv 1$ のとき $n(n-1)\equiv 1\cdot 0=0$
- $n\equiv 2$ のとき $n(n-1)\equiv 2\cdot 1=2$
- $n\equiv 3$ のとき $n(n-1)\equiv 3\cdot 2=6\equiv 1$
- $n\equiv 4$ のとき $n(n-1)\equiv 4\cdot 3=12\equiv 2$

よって、$5$ で割り切れるのは $n\equiv 0,1(\mathrm{mod}5)$ の $2$ 通り。

(2) $7$ を法とする条件

同様に $7$ を法として
- $n\equiv 0$：$0$、$n\equiv 1$：$0$、$n\equiv 2$：$2$、$n\equiv 3$：$6$、$n\equiv 4$：$12\equiv 5$、$n\equiv 5$：$20\equiv 6$、$n\equiv 6$：$30\equiv 2$

よって、$7$ で割り切れるのは $n\equiv 0,1(\mathrm{mod}7)$ の $2$ 通り。

(3) 余りの組を数える

$n$ を $5$ で割った余りと $7$ で割った余りの組が決まると、$n$ を $35$ で割った余りがただ $1$ つに決まる。条件を満たす組は積の法則により $2\times 2=4$ 通りで、それぞれ $0\leqq r\leqq 34$ の範囲で次のようになる。

（例えば $15=5\cdot 3$, $15=7\cdot 2+1$ であり、$21=5\cdot 4+1$, $21=7\cdot 3$ である。）

したがって、連続する $35$ 個の整数の中に条件を満たす $n$ はちょうど $4$ 個ある。

(4) 範囲内の個数

$210=35\times 6$ より、$1\leqq n\leqq 210$ は連続する $35$ 個の整数のまとまり $6$ つに分けられる。よって求める個数は
$$4\times 6=24$$

答え：$24$ 個

$n^2-n=n(n-1)$ が $35=5\cdot 7$ で割り切れる条件は、$n(n-1)$ が $5$ と $7$ の両方で割り切れることである。
$5$ と $7$ は素数で、連続する整数 $n,n-1$ は互いに素だから、$n\equiv 0$ または $n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$、かつ $n\equiv 0$ または $n\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ となる。
$\mathrm{mod}35$ では、中国剰余定理より $2\times 2=4$ 個の剰余類が対応する。すなわち $n\equiv 0,1,15,21(\mathrm{mod}35)$ である。
確認: $n\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ は $n=15$。$n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ は $n=21$。
$210=35\times 6$ なので、$1\le n\le 210$ は $35$ の剰余系をちょうど $6$ 周する。よって個数は $4\times 6=24$。
検算: $n=15$ のとき $15\cdot 14=210=35\cdot 6$ で割り切れる。$n=21$ のとき $21\cdot 20=420=35\cdot 12$ で割り切れる。$n=210$ のとき $210\cdot 209$ で割り切れる。$n=1$ のとき $0$ で割り切れる。