整数の性質の問題

方針：法を互いに素な数に分ける

$35=5\times 7$ で、$5$ と $7$ は互いに素である。したがって
$$n^2-n\text{ が }35\text{ で割り切れる}⟺n^2-n\text{ が }5\text{ でも }7\text{ でも割り切れる}$$
が成り立つ。そこで、$5$ で割った余りと $7$ で割った余りに分けて調べる。

(1) 法 $5$ で調べる

$n^2-n=n(n-1)$ である。$n$ を $5$ で割った余り $0,1,2,3,4$ について $n(n-1)$ を $5$ で割った余りを求めると
$$0\cdot (-1)\equiv 0,1\cdot 0\equiv 0,2\cdot 1\equiv 2,3\cdot 2=6\equiv 1,4\cdot 3=12\equiv 2(\mathrm{mod}5)$$
となる。よって $n\equiv 0,1(\mathrm{mod}5)$ の $2$ 通りである。

(2) 法 $7$ で調べる

$n$ を $7$ で割った余り $0,1,\dots ,6$ について $n(n-1)$ を $7$ で割った余りは
$$0,0,2,6,12\equiv 5,20\equiv 6,30\equiv 2(\mathrm{mod}7)$$
となる。よって $n\equiv 0,1(\mathrm{mod}7)$ の $2$ 通りである。

(3) 余りの組を数える

$5$ と $7$ は互いに素なので、連続する $35$ 個の整数の中には、「$5$ で割った余り」と「$7$ で割った余り」の組 $5\times 7=35$ 通りがちょうど $1$ 回ずつ現れる。条件を満たす余りの組は、積の法則より
$$2\times 2=4\text{ 通り}$$
である。実際、$0\leqq n\leqq 34$ では $n=0,1,15,21$ の $4$ 個である（例えば $15\cdot 14=210=35\cdot 6$、$21\cdot 20=420=35\cdot 12$）。

(4) 範囲内の個数

$350=35\times 10$ なので、$1\leqq n\leqq 350$ は連続する $35$ 個の整数の区切りがちょうど $10$ 個ある。各区切りに条件を満たす $n$ が $4$ 個ずつあるから、求める個数は
$$4\times 10=40$$
である。

$n^2-n=n(n-1)$ が $35=5\cdot 7$ で割り切れる条件を考える。$n$ と $n-1$ は互いに素なので、5 は $n$ か $n-1$ の一方だけを割り、7 も同様である。

よって $n\equiv 0,1(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 0,1(\mathrm{mod}7)$ が条件になる。

法 5 で 2 通り、法 7 で 2 通りなので、中国剰余定理より法 35 で $2\times 2=4$ 通りの剰余類が対応する。

具体的には $n\equiv 0,1,15,21(\mathrm{mod}35)$ である。
- $n\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ のとき $n\equiv 0$
- $n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ のとき $n\equiv 1$
- $n\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ のとき $n=15$（$15\equiv 1(\mathrm{mod}7)$）
- $n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ かつ $n\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ のとき $n=21$（$21\equiv 1(\mathrm{mod}5)$）

$1\leqq n\leqq 350$ は $350=35\times 10$ なので、ちょうど 10 周期分である。各周期にこの剰余類が 4 個ずつ含まれるので、個数は $4\times 10=40$ となる。

検算：$n=1$ は $0$ なので適する。$n=15$ は $15\cdot 14=210=35\cdot 6$ なので適する。$n=21$ は $21\cdot 20=420=35\cdot 12$ なので適する。$n=35$ は $35\cdot 34$ なので適する。$n=350$ も $350\equiv 0$ なので含まれる。