整数の性質の問題

手順1：$4^n$ を $5$ で割った余りの周期を調べる。

$4\equiv -1(\mathrm{mod}5)$ なので $4^n\equiv (-1{)}^n(\mathrm{mod}5)$ である。$n=1,2,3,\dots$ と順に調べると、余りは
$$4,1,4,1,\dots$$
となる。よって、$4^n$ を $5$ で割った余りは周期 $2$ でくり返す。

手順2：$n$ を $5$ で割った余りの周期を調べる。

$n$ を $5$ で割った余りは $1,2,3,4,0,1,2,\dots$ となり、周期 $5$ でくり返す。

手順3：和の周期を求める。

$2$ と $5$ の最小公倍数は $10$ である。したがって、$4^n+n$ を $5$ で割った余りは周期 $10$ でくり返す。つまり、$n$ と $n+10$ では余りが同じになる。

手順4：1 周期分（$n=1,\dots ,10$）を調べる。

和の余りが $0$ になるのは $n=1,4$ の $2$ 個である。実際、$4^1+1=5$、$4^4+4=260$ はどちらも $5$ で割り切れる。

手順5：範囲内の個数を数える。

$205=10\times 20+5$ である。
- $1\leqq n\leqq 200$ には周期がちょうど $20$ 回分ふくまれる。よって、条件を満たす $n$ は $2\times 20=40$ 個ある。
- 残りの $201\leqq n\leqq 205$ は、$n=1,\dots ,5$ と同じ余りになる。この中で条件を満たすのは $n=201,204$ の $2$ 個である。

したがって、求める個数は $40+2=42$ 個である。

$4\equiv -1(\mathrm{mod}5)$ より $4^n\equiv (-1{)}^n(\mathrm{mod}5)$。

・$n$ が奇数のとき：$4^n+n\equiv -1+n$ なので、$n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ が条件。奇数かつ $n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ より $n\equiv 1(\mathrm{mod}10)$。

・$n$ が偶数のとき：$4^n+n\equiv 1+n$ なので、$n\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ が条件。偶数かつ $n\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ より $n\equiv 4(\mathrm{mod}10)$。

$1\le n\le 205$ の範囲で数える。
$n\equiv 1(\mathrm{mod}10)$：$1,11,\dots ,201$ の $21$ 個。
$n\equiv 4(\mathrm{mod}10)$：$4,14,\dots ,204$ の $21$ 個。
合計 $42$ 個。

検算：$n=1$ のとき $4+1=5$、$n=4$ のとき $256+4=260$。ともに $5$ で割り切れる。$n=205$ は $n\equiv 5(\mathrm{mod}10)$ で対象外。