因数分解

共通因数をくくり出したり、乗法公式を逆に使ったりして、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ のように多項式を因数分解できる（おきかえを使うものを含む）

前提

乗法公式による展開（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）

説明

多項式を、いくつかの式のかけ算の形に直すことを因数分解といい、かけ算されている 1 つ 1 つの式を因数といいます。この技能では、共通な因数をかっこの外にくくり出したり、乗法公式を逆向きに使ったりして、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ のように因数分解できるようになります。2 次方程式を解くときや、式の値をくふうして求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

展開の逆向き 展開は「かけ算の形 → たし算の形」の変形でした。因数分解はその逆で「たし算の形 → かけ算の形」です。だから、乗法公式を右から左へ読めば、そのまま因数分解の公式になります。
- $x^{2} + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)$
- $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ 、 $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
- $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

たとえば $x^{2} - 4 x - 12$ を $(x + a) (x + b)$ の形にしたければ、展開したときに「 $x$ の係数が $a + b$ 、数の項が $ab$ 」になることから、「たして $- 4$ 、かけて $- 12$ 」になる 2 つの数をさがせばよいとわかります。 $- 6$ と $2$ が見つかるので $(x - 6) (x + 2)$ です。

共通因数をくくり出す 分配法則 $ma + mb = m (a + b)$ を逆に使うと、すべての項にふくまれる共通な因数 $m$ をかっこの外に出せます。共通因数を先にくくり出すと、かっこの中の係数が小さくなり、公式が見つけやすくなります。

おきかえ $(a + b)^{2} - 3 (a + b) - 10$ のように、同じまとまり $a + b$ が何度も出てくる式は、 $a + b = M$ とおくと $M^{2} - 3 M - 10$ になり、公式が使える形になります。因数分解したあとで $M$ を $a + b$ にもどします。どんな場合でも、因数分解した結果を展開すればもとの式にもどるので、答えのたしかめができます。

手順

すべての項に共通な因数（数や文字）があれば、かっこの外にくくり出す
同じまとまりが何度も出てくるときは、そのまとまりを 1 つの文字（ $M$ など）におきかえる
かっこの中（またはおきかえた式）の項の数と形を見て、どの公式が使えるか決める。2 項で $□^{2} - △^{2}$ なら $(a + b) (a - b)$ 、3 項なら $(a \pm b)^{2}$ か $(x + a) (x + b)$
$(x + a) (x + b)$ の形なら「たして $x$ の係数、かけて数の項」になる 2 つの数をさがす。 $(a \pm b)^{2}$ なら、両はしの項が 2 乗で真ん中の項が $2 ab$ になっているか確かめる
おきかえた文字をもとにもどし、かっこの中がさらに因数分解できないか確かめる。最後に展開して、もとの式にもどるかたしかめる

例題

$2 x^{2} - 8 x - 24$ を因数分解せよ。

例題の解答

【手順 1】3 つの項の係数 2, $- 8$ , $- 24$ はすべて 2 でわり切れるので、2 をくくり出します。
$2 x^{2} - 8 x - 24 = 2 (x^{2} - 4 x - 12)$

【手順 2】同じまとまりはないので、おきかえは使いません。

【手順 3】かっこの中は 3 項で、 $x^{2}$ の係数が 1、数の項が負の数なので 2 乗の形ではなく、 $(x + a) (x + b)$ の形を考えます。

【手順 4】たして $- 4$ 、かけて $- 12$ になる 2 つの数をさがします。かけて $- 12$ になる組は $(1, - 12)$ , $(- 1, 12)$ , $(2, - 6)$ , $(- 2, 6)$ , $(3, - 4)$ , $(- 3, 4)$ で、このうち和が $- 4$ になるのは $2$ と $- 6$ です。
$x^{2} - 4 x - 12 = (x + 2) (x - 6)$

【手順 5】 $x + 2$ も $x - 6$ もこれ以上因数分解できません。よって
$2 x^{2} - 8 x - 24 = 2 (x + 2) (x - 6)$
（たしかめ: $2 (x + 2) (x - 6) = 2 (x^{2} - 4 x - 12) = 2 x^{2} - 8 x - 24$ ）

答え: $2 (x + 2) (x - 6)$

よくある誤り

共通因数をくくり出さずに、 $2 x^{2} - 8 x - 24$ の係数のまま「たして $- 8$ 、かけて $- 24$ 」の 2 つの数をさがして $(x + ..) (x + ..)$ としてしまう誤り。正しくは、 $x^{2}$ の係数が 1 になるように先に 2 をくくり出して $2 (x + 2) (x - 6)$
「かけて数の項」の符号を見落として、 $x^{2} - 4 x - 12 = (x - 2) (x + 6)$ や $(x - 2) (x - 6)$ としてしまう誤り。正しくは、和が $- 4$ 、積が $- 12$ になる $2$ と $- 6$ を使って $(x + 2) (x - 6)$
真ん中の項を確かめずに 2 乗の公式を使い、 $x^{2} + 5 x + 9 = (x + 3)^{2}$ としてしまう誤り。正しくは、 $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ なので真ん中が $6 x$ のときだけ使える。 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ なら $- 2 \times x \times 3 y = - 6 x y$ が合うので $(x - 3 y)^{2}$
おきかえたあと、もとにもどさずに $(a + b)^{2} - 3 (a + b) - 10 = (M - 5) (M + 2)$ で終えてしまう誤り。正しくは、 $M = a + b$ をもどして $(a + b - 5) (a + b + 2)$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式を因数分解しなさい。
$x^{2} + x - 12$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
因数分解を使った数の計算のくふう（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
因数分解による 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）
変化の割合（中学数学関数）