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数と式の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学数と式

$x$ , $y$ は数で、 $x - y = 3$ 、 $x y = 2$ を満たしています。このとき、次の式の値を求めなさい。 $x^{2} + y^{2} - x^{2} y + x y^{2}$

この問題で使うもの

式の値（代入）（説明と入口の問題）
因数分解（説明と入口の問題）
乗法公式による展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x$ , $y$ の値を求めるのではなく、式を $x - y$ と $x y$ を使って表すことを考えましょう。

ヒント 2

$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2 x y$ と変形できます。また、 $- x^{2} y + x y^{2}$ は共通な因数でくくれます。

ヒント 3

$x^{2} + y^{2} = 13$ です。残りの $- x^{2} y + x y^{2}$ を $- x y (x - y)$ と変形して値を求めましょう。

答えと解説

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7

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解説を読む

式を $x - y$ と $x y$ で表すことを考えます。

まず、 $x^{2} + y^{2}$ について、 $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ より
$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2 x y = 3^{2} + 2 \times 2 = 9 + 4 = 13$

次に、 $- x^{2} y + x y^{2}$ は共通な因数 $- x y$ でくくると
$- x^{2} y + x y^{2} = - x y (x - y) = - 2 \times 3 = - 6$

よって
$x^{2} + y^{2} - x^{2} y + x y^{2} = 13 + (- 6) = 7$

別解

$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2 x y = 3^{2} + 2 \times 2 = 13$ 。
$- x^{2} y + x y^{2} = - x y (x - y) = - 2 \times 3 = - 6$ 。
よって $13 + (- 6) = 7$ 。
検算: $x - y = 3, x y = 2$ を満たす例 $x = \frac{3 + 17}{2}, y = \frac{- 3 + 17}{2}$ は実数で存在し、上の変形は恒等式なので値は $7$ 。

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