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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学数と式

$x = 2 + 3$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^{2} - 3 x - 4$

この問題で使うもの

根号を含む数を代入した式の値（説明と入口の問題）
因数分解（説明と入口の問題）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

そのまま代入してもよいですが、先に式を因数分解すると計算が楽になります。

ヒント 2

和が $- 3$ 、積が $- 4$ になる 2 つの数を見つけて、 $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解しましょう。

ヒント 3

$x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)$ です。 $x - 4 = 3 - 2$ 、 $x + 1 = 3 + 3$ をかけ算しましょう。

答えと解説

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- 3 + 3

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解説を読む

先に式を因数分解します。和が $- 3$ 、積が $- 4$ になる 2 つの数は $- 4$ と $1$ なので
$x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)$
ここで $x = 2 + 3$ を代入すると
$x - 4 = 2 + 3 - 4 = 3 - 2, x + 1 = 2 + 3 + 1 = 3 + 3$
なので
$(x - 4) (x + 1) = (3 - 2) (3 + 3) = 33 + 3 - 6 - 23 = - 3 + 3$

（確かめ： $x^{2} = (2 + 3)^{2} = 7 + 43$ より、 $x^{2} - 3 x - 4 = 7 + 43 - 6 - 33 - 4 = - 3 + 3$ ）

別解

$x = 2 + 3$ より $x - 2 = 3$ 。両辺を2乗して $x^{2} - 4 x + 4 = 3$ 、よって $x^{2} = 4 x - 1$ 。
$x^{2} - 3 x - 4 = (4 x - 1) - 3 x - 4 = x - 5 = 2 + 3 - 5 = - 3 + 3$ 。
検算: $x^{2} = 7 + 43$ 、 $- 3 x = - 6 - 33$ 。 $7 + 43 - 6 - 33 - 4 = - 3 + 3$ 。

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