根号を含む数を代入した式の値

$x = 7 + 3, y = 7 - 3$ のとき、 $x + y$ 、 $x y$ 、 $x - y$ を求め、式を因数分解してから代入して値を求められる（ $x^{2} + 3 x$ のまとまりを作るくふうを含む）

前提

分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
因数分解を使った数の計算のくふう（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
式の値（代入）（中学数学数と式）
因数分解を使った数の計算のくふう（中学数学数と式）

説明

$x = 7 + 3$ , $y = 7 - 3$ のように根号をふくむ数を代入する式の値を、楽にまちがいなく求められるようになります。そのまま代入すると根号の展開が何度も必要になりますが、先に $x + y$ , $x y$ , $x - y$ を求めておき、式を因数分解してそれらのまとまりで表せば、短い計算ですみます。 $x^{2} + 3 x$ のようなまとまりを作って代入するくふうも身につけます。

なぜそうしてよいのか

和・積・差が簡単になる $x = 7 + 3$ , $y = 7 - 3$ は、真ん中の符号だけがちがう組です。このとき
$x + y = 27, x - y = 23, x y = (7)^{2} - (3)^{2} = 7 - 3 = 4$
のように、和・差・積はどれも項が 1 つの簡単な数になります。とくに積は $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ によって根号が消えます。

式をまとまりで表す 因数分解した式ともとの式は、どんな数を代入しても同じ値になります。そこで、求めたい式を $x + y$ , $x y$ , $x - y$ を使った形に因数分解してから代入すれば、根号の展開をくり返さずにすみます。たとえば $x^{2} y + x y^{2} = x y (x + y) = 4 \times 27 = 87$ 、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y) = 27 \times 23 = 421$ です。 $x^{2} + y^{2}$ のように因数分解できない式も、 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ を使って $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ と表せます。

まとまりを作るくふう 文字が 1 つのときも同じ考え方が使えます。たとえば $x = 2 - 1$ のとき、 $x + 1 = 2$ と移すと根号だけの形になり、両辺を 2 乗して $x^{2} + 2 x + 1 = 2$ 、つまり $x^{2} + 2 x = 1$ がわかります。すると $x^{2} + 2 x + 5$ の値は、 $x^{2} + 2 x$ のまとまりに 1 を入れて $1 + 5 = 6$ と求められます。

手順

与えられた $x$ , $y$ から、 $x + y$ 、 $x - y$ 、 $x y$ を先に計算しておく（必要なら分母を有理化してから）
求めたい式を、共通因数のくくり出しや因数分解の公式で $x + y$ 、 $x - y$ 、 $x y$ の積や和の形に変形する（ $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ も使える）
変形した式に、手順 1 の値を代入する
根号の計算をして、根号の中ができるだけ小さい自然数になる形に整える
文字が 1 つのときは、 $x + 1 = 2$ のように根号だけを一方に残して 2 乗し、 $x^{2} + 2 x$ のようなまとまりの値を求めてから代入する

例題

$x = 5 + 2$ , $y = 5 - 2$ のとき、 $x^{2} y - x y^{2}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x - y$ と $x y$ を求めます。
$x - y = (5 + 2) - (5 - 2) = 22$
$x y = (5 + 2) (5 - 2) = 5 - 2 = 3$

【手順 2】共通因数 $x y$ をくくり出します。
$x^{2} y - x y^{2} = x y (x - y)$

【手順 3】値を代入します。
$x y (x - y) = 3 \times 22$

【手順 4】
$3 \times 22 = 62$

答え: $62$

よくある誤り

$x - y$ のかっこをはずすとき符号を変え忘れて $(5 + 2) - (5 - 2) = 0$ としてしまう誤り。正しくは、 $- (5 - 2) = - 5 + 2$ なので $x - y = 22$
$x y$ を $(5)^{2} + (2)^{2} = 7$ としてしまう誤り。正しくは、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ なので $x y = 5 - 2 = 3$
$x^{2} + y^{2}$ を $(x + y)^{2}$ と同じと考えて $(25)^{2} = 20$ としてしまう誤り。正しくは、 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 20 - 2 \times 3 = 14$
$x = 2 - 1$ のとき、 $x^{2} + 2 x$ を求めるのに $x^{2} = 2 - 1 = 1$ のように根号の式の 2 乗を項ごとに 2 乗してしまう誤り。正しくは、 $x^{2} = (2 - 1)^{2} = 3 - 22$ で、 $x^{2} + 2 x = 3 - 22 + 22 - 2 = 1$ （ $(x + 1)^{2} = 2$ から求めても同じ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x = 5 + 2$ , $y = 5 - 2$ のとき、 $x^{2} - y^{2}$ の値を求めなさい。

根号を含む数を代入した式の値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題