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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学数と式

$a = 3 + 1$ 、 $b = 3 - 1$ のとき、次の式の値を求めなさい。 $a^{2} b + a b^{2}$

この問題で使うもの

根号を含む数を代入した式の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

そのまま代入するのではなく、式を因数分解してから代入しましょう。

ヒント 2

$a^{2} b + a b^{2}$ は共通な因数 $ab$ でくくると $ab (a + b)$ になります。

ヒント 3

$ab$ は乗法公式 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ を使って計算できます。 $a + b$ も求めましょう。

答えと解説

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43

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共通な因数 $ab$ でくくると
$a^{2} b + a b^{2} = ab (a + b)$
ここで
$ab = (3 + 1) (3 - 1) = (3)^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2$
$a + b = (3 + 1) + (3 - 1) = 23$
よって
$a^{2} b + a b^{2} = 2 \times 23 = 43$

別解

$a^{2} b + a b^{2} = ab (a + b)$ 。
$ab = (3 + 1) (3 - 1) = 3 - 1 = 2$ 、 $a + b = 23$ 。
よって $2 \times 23 = 43$ 。
検算: $a \approx 2.732, b \approx 0.732$ で $a^{2} b \approx 5.464$ 、 $a b^{2} \approx 1.464$ 、和 $\approx 6.928$ 、 $43 \approx 6.928$ 。

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