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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学数と式

$x = 38$ 、 $y = 12$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$

この問題で使うもの

因数分解を使った数の計算のくふう（説明と入口の問題）
因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

数をそのまま代入する前に、式を因数分解できないか考えてみましょう。

ヒント 2

$9 y^{2} = (3 y)^{2}$ 、 $6 x y = 2 \times x \times 3 y$ に注目すると、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ の形が使えます。

ヒント 3

$x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ です。 $x - 3 y$ の値を先に求めましょう。

答えと解説

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4

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そのまま代入すると計算が大きくなるので、先に因数分解します。
$x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 3 y + (3 y)^{2} = (x - 3 y)^{2}$
ここで $x = 38$ 、 $y = 12$ を代入すると
$x - 3 y = 38 - 3 \times 12 = 38 - 36 = 2$
なので
$(x - 3 y)^{2} = 2^{2} = 4$
となります。

（確かめ： $3 8^{2} - 6 \times 38 \times 12 + 9 \times 1 2^{2} = 1444 - 2736 + 1296 = 4$ ）

別解

$x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ と因数分解できる。
$x - 3 y = 38 - 36 = 2$ なので、 $2^{2} = 4$ 。
検算: $3 8^{2} = 1444$ 、 $6 \times 38 \times 12 = 2736$ 、 $9 \times 144 = 1296$ 。 $1444 - 2736 + 1296 = 4$ 。

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