因数分解を使った数の計算のくふう

$13 \times 4 7^{2} - 13 \times 4 3^{2}$ や、 $x = 38, y = 12$ のときの $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ の値などを、因数分解してから計算して楽に求められる

前提

因数分解（中学数学数と式）
式の値（代入）（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
式の値（代入）（中学数学数と式）

説明

$13 \times 4 7^{2} - 13 \times 4 3^{2}$ のように、そのまま計算すると大きな数のかけ算が必要な式を、因数分解してかけ算の形に直してから計算すると、ずっと楽に答えが出せます。 $x = 38$ , $y = 12$ のときの $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ の値のように、文字に数を代入する問題でも、先に因数分解しておくと計算が簡単になります。

なぜそうしてよいのか

因数分解は、文字がどんな数であっても成り立つ変形です。だから、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ の $a$ , $b$ に 47 や 43 のような具体的な数を入れても成り立ちます。

$4 7^{2} - 4 3^{2}$ をそのまま計算すると $2209 - 1849$ と大きな数を 2 回作る必要がありますが、 $(47 + 43) (47 - 43) = 90 \times 4$ と変形すると、和と差という小さく切りのよい数のかけ算になります。2 乗の差は、和と差のかけ算に直せる、というのがこのくふうの中心です。 $13 \times 4 7^{2} - 13 \times 4 3^{2}$ なら、まず共通因数 13 をくくり出してから同じことをします。

文字式の値でも同じです。 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ に $x = 38$ , $y = 12$ をそのまま入れると $3 8^{2}$ などの計算が必要ですが、 $(x - 3 y)^{2}$ と因数分解すれば、 $x - 3 y = 38 - 36 = 2$ なので $2^{2} = 4$ とすぐに求まります。因数分解した式ともとの式は、どんな数を代入しても同じ値になるので、どちらに代入しても答えは同じです。

手順

式の中に共通な数（因数）があれば、くくり出す
残った式が、因数分解の公式（ $a^{2} - b^{2}$ 、 $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ 、 $x^{2} + (a + b) x + ab$ ）のどれにあたるか見る。文字式のときは、文字のまま因数分解する
公式を使ってかけ算の形に直す（例: $4 7^{2} - 4 3^{2} = (47 + 43) (47 - 43)$ ）
かっこの中（和・差など）を先に計算し、または文字に数を代入してから計算する
残ったかけ算を、計算しやすい順にかける

例題

$7 \times 5 8^{2} - 7 \times 4 2^{2}$ を、くふうして計算せよ。

例題の解答

【手順 1】2 つの項に共通な 7 をくくり出します。
$7 \times 5 8^{2} - 7 \times 4 2^{2} = 7 \times (5 8^{2} - 4 2^{2})$

【手順 2】かっこの中は $a^{2} - b^{2}$ の形（ $a = 58$ , $b = 42$ ）です。

【手順 3】 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を使います。
$7 \times (58 + 42) \times (58 - 42)$

【手順 4】かっこの中を計算します。 $58 + 42 = 100$ 、 $58 - 42 = 16$ です。

【手順 5】
$7 \times 100 \times 16 = 7 \times 16 \times 100 = 112 \times 100 = 11200$

答え: $11200$

よくある誤り

2 乗の差を差の 2 乗とまちがえて $5 8^{2} - 4 2^{2} = (58 - 42)^{2} = 1 6^{2} = 256$ としてしまう誤り。正しくは、 $5 8^{2} - 4 2^{2} = (58 + 42) (58 - 42) = 100 \times 16 = 1600$
共通因数をくくり出したあと、かけるのを忘れて $7 \times 5 8^{2} - 7 \times 4 2^{2} = (58 + 42) (58 - 42) = 1600$ としてしまう誤り。正しくは、くくり出した 7 もかけて $7 \times 1600 = 11200$
$x = 38$ , $y = 12$ のとき $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ に代入して、 $x - 3 y$ を $38 - 3 - 12 = 23$ としてしまう誤り。正しくは、 $3 y = 3 \times 12 = 36$ なので $x - 3 y = 38 - 36 = 2$ で、値は $2^{2} = 4$
$a^{2} - b^{2}$ の $a$ と $b$ を入れかえて $4 2^{2} - 5 8^{2} = (58 + 42) (58 - 42) = 1600$ としてしまう誤り。正しくは、 $4 2^{2} - 5 8^{2} = (42 + 58) (42 - 58) = 100 \times (- 16) = - 1600$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
因数分解を利用して、次の計算をしなさい。
$5 8^{2} - 4 2^{2}$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

根号を含む数を代入した式の値（中学数学数と式）