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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学数と式

因数分解を利用して、次の式の値を求めよ。
$13 \times 4 7^{2} - 13 \times 4 3^{2}$

この問題で使うもの

因数分解を使った数の計算のくふう（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

2 つの項に共通な因数をまずくくり出しましょう。

ヒント 2

くくり出したあとのかっこの中は $a^{2} - b^{2}$ の形です。 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を使いましょう。

ヒント 3

$13 (4 7^{2} - 4 3^{2}) = 13 (47 + 43) (47 - 43)$ と変形できます。

答えと解説

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4680

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解説を読む

まず、共通因数 $13$ をくくり出す。
$13 \times 4 7^{2} - 13 \times 4 3^{2} = 13 (4 7^{2} - 4 3^{2})$

かっこの中は $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ の形なので、
$4 7^{2} - 4 3^{2} = (47 + 43) (47 - 43) = 90 \times 4 = 360$
となる。

よって、
$13 \times 360 = 4680$

答えは $4680$ である。

別解

共通因数 $13$ をくくり出し、さらに $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を使う。
$13 \times 4 7^{2} - 13 \times 4 3^{2} = 13 (4 7^{2} - 4 3^{2}) = 13 (47 + 43) (47 - 43) = 13 \times 90 \times 4 = 4680$ 。
検算: $4 7^{2} = 2209$ 、 $4 3^{2} = 1849$ で差は $360$ 。 $13 \times 360 = 4680$ 。

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