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数と式の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学数と式

$a = 37$ 、 $b = 13$ のとき、次の式の値を求めよ。 $a^{2} - 3 ab - 4 b^{2}$

この問題で使うもの

因数分解を使った数の計算のくふう（説明と入口の問題）
因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

代入する前に、式を因数分解できないか考えましょう。

ヒント 2

$a^{2} - 3 ab - 4 b^{2}$ は、和が $- 3 b$ 、積が $- 4 b^{2}$ になる $2$ つの式を見つけて因数分解します。

ヒント 3

$a^{2} - 3 ab - 4 b^{2} = (a - 4 b) (a + b)$ です。それぞれの値を求めます。

答えと解説

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- 750

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解説を読む

そのまま代入するより、先に因数分解すると計算が楽になります。

和が $- 3 b$ 、積が $- 4 b^{2}$ になる $2$ つの式は $- 4 b$ と $b$ なので、
$a^{2} - 3 ab - 4 b^{2} = (a - 4 b) (a + b)$

ここに $a = 37$ 、 $b = 13$ を代入すると、
$a - 4 b = 37 - 52 = - 15, a + b = 37 + 13 = 50$
よって $(- 15) \times 50 = - 750$

（確かめ: $3 7^{2} = 1369$ 、 $3 \times 37 \times 13 = 1443$ 、 $4 \times 1 3^{2} = 676$ より $1369 - 1443 - 676 = - 750$ ）

別解

$a^{2} - 3 ab - 4 b^{2} = (a - 4 b) (a + b)$ と因数分解できる。
$a = 37$ 、 $b = 13$ を代入すると $a - 4 b = 37 - 52 = - 15$ 、 $a + b = 50$ 。
よって $(- 15) \times 50 = - 750$ 。
検算: 直接計算すると $a^{2} = 1369$ 、 $3 ab = 3 \times 481 = 1443$ 、 $4 b^{2} = 4 \times 169 = 676$ より $1369 - 1443 - 676 = - 750$ 。

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