数と式の問題

そのまま代入すると計算が大変なので、先に式を展開して整理する。

$$(2x-y{)}^2=4x^2-4xy+y^2$$
$$(x+y)(4x-y)=4x^2-xy+4xy-y^2=4x^2+3xy-y^2$$

よって
$$(2x-y{)}^2-(x+y)(4x-y)=(4x^2-4xy+y^2)-(4x^2+3xy-y^2)$$
$$=4x^2-4xy+y^2-4x^2-3xy+y^2=-7xy+2y^2$$

ここに $x=\frac{2}{7}$、$y=-\frac{1}{2}$ を代入する。
$$xy=\frac{2}{7}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{7},y^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$
だから
$$-7xy+2y^2=-7\times \left(-\frac{1}{7}\right)+2\times \frac{1}{4}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

式を展開する。
$(2x-y{)}^2=4x^2-4xy+y^2$
$(x+y)(4x-y)=4x^2-xy+4xy-y^2=4x^2+3xy-y^2$

差は $4x^2-4xy+y^2-4x^2-3xy+y^2=-7xy+2y^2$。

$x=\frac{2}{7}$、$y=-\frac{1}{2}$ を代入する。$xy=-\frac{1}{7}$ なので $-7xy=1$、$2y^2=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

よって $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

確かめ: 元の式に直接代入すると $2x-y=\frac{4}{7}+\frac{1}{2}=\frac{15}{14}$、$(2x-y{)}^2=\frac{225}{196}$。$x+y=\frac{2}{7}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{14}$、$4x-y=\frac{8}{7}+\frac{1}{2}=\frac{23}{14}$、積は $-\frac{69}{196}$。$\frac{225}{196}+\frac{69}{196}=\frac{294}{196}=\frac{3}{2}$。一致する。