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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

$x = 7 + 3$ 、 $y = 7 - 3$ のとき、次の式の値を求めよ。
$x^{2} y - x y^{2} - x + y$

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

そのまま代入すると計算が大変です。式を因数分解して、 $x - y$ や $x y$ を使って表せないか考えましょう。

ヒント 2

$x^{2} y - x y^{2} = x y (x - y)$ 、 $- x + y = - (x - y)$ と見ると、共通因数 $x - y$ がくくり出せます。

ヒント 3

式は $(x - y) (x y - 1)$ と因数分解できます。 $x - y = 23$ で、 $x y$ は和と差の積の公式で求められます。

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63

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解説を読む

まず式を因数分解する。前の 2 項と後ろの 2 項に分けると
$x^{2} y - x y^{2} - x + y = x y (x - y) - (x - y) = (x - y) (x y - 1)$

次に $x - y$ と $x y$ の値を求める。
$x - y = (7 + 3) - (7 - 3) = 23$
$x y = (7 + 3) (7 - 3) = (7)^{2} - (3)^{2} = 7 - 3 = 4$

よって
$(x - y) (x y - 1) = 23 \times (4 - 1) = 63$

別解

因数分解する。
$x^{2} y - x y^{2} - x + y = x y (x - y) - (x - y) = (x - y) (x y - 1)$ 。

$x - y = (7 + 3) - (7 - 3) = 23$ 。
$x y = (7)^{2} - (3)^{2} = 7 - 3 = 4$ 。

よって $23 \times (4 - 1) = 63$ 。

確かめ: $x^{2} y - x y^{2} = x y (x - y) = 4 \times 23 = 83$ 、 $- x + y = - 23$ 。合計 $83 - 23 = 63$ 。一致する。