技能一覧 › 中学数学 数と式

乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開

$(\sqrt{12}-\sqrt{2}{)}^2=14-4\sqrt{6}$ や $(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=4$、$\sqrt{2}(\sqrt{6}+3)$ のような根号を含む式を、乗法公式や分配法則で展開して簡単にできる

前提

• 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
• 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 式の形を見て、使う公式（$(a\pm b{)}^2$、$(a+b)(a-b)$、$(x+a)(x+b)$）か分配法則を決める

2. 公式の文字にあたる部分を読み取る。$2\sqrt{3}$ のように数と根号の積のときは、それ全体を 1 つの文字として当てはめる

3. 公式に当てはめて展開する。$(2\sqrt{3}{)}^2=4\times 3=12$ のように、根号の外の数も 2 乗する

4. 根号どうしの積を $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ で計算し、$\square \sqrt{△}$ の形に直す

5. 根号のない数どうし、根号の中が同じ項どうしをまとめる

例題

よくある誤り

• 真ん中の項を忘れて $(2\sqrt{3}-\sqrt{6}{)}^2=12+6=18$ や $12-6=6$ としてしまう誤り。正しくは、$-2ab$ の項 $-12\sqrt{2}$ があり $18-12\sqrt{2}$

• 根号の外の数を 2 乗し忘れて $(2\sqrt{3}{)}^2=2\times 3=6$ としてしまう誤り。正しくは、$(2\sqrt{3}{)}^2=2^2\times (\sqrt{3}{)}^2=4\times 3=12$

• 根号のない数と根号のある項をまとめて $18-12\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ としてしまう誤り。正しくは、同類項ではないので $18-12\sqrt{2}$ のまま

• 分配法則で、かっこの後ろの項にかけ忘れて $\sqrt{2}(\sqrt{6}+3)=\sqrt{12}+3=2\sqrt{3}+3$ としてしまう誤り。正しくは、$\sqrt{2}\times \sqrt{6}+\sqrt{2}\times 3=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  次の計算をしなさい。
  $$(\sqrt{5}+2{)}^2$$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  次の式を計算しなさい。
  $$(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2+\frac{20}{\sqrt{10}}$$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  $x=2+\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
  $$x^2-3x-4$$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  $x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
  $$x(x+1)(x+2)(x+3)$$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  次の式を計算しなさい。
  $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{2}{)}^2}{\sqrt{6}}$$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  正の数 $p$ について、$p$ 以下の最大の整数を $p$ の整数部分といい、$p$ から整数部分をひいた数を $p$ の小数部分という。$\frac{6}{3-\sqrt{3}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a(a+4)$ の値を求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  次の式を計算しなさい。答えは分母を有理化した形で答えなさい。$$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)}{\sqrt{6}}$$

この技能の次に学べること

• 根号を含む式の計算と分母の有理化 （数学I 数と式）
• 根号を含む数を代入した式の値 （中学数学 数と式）