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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

$x = \frac{- 3 + 5}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$x (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

この問題で使うもの

根号を含む数を代入した式の値（説明と入口の問題）
乗法公式による展開（説明と入口の問題）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

4 つの因数をそのままかけるのではなく、2 つずつ組にしてかけると、同じ式が現れるようにくふうしましょう。

ヒント 2

$x (x + 3) = x^{2} + 3 x$ 、 $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ です。 $x^{2} + 3 x$ を 1 つの文字 $A$ とおきます。

ヒント 3

$x = \frac{- 3 + 5}{2}$ を代入して $x^{2} = \frac{7 - 3 5}{2}$ 、 $3 x = \frac{- 9 + 3 5}{2}$ を求め、 $A = x^{2} + 3 x$ の値を出しましょう。

答えと解説

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解説を読む

4 つの因数を、定数項の和が等しくなるように $x$ と $x + 3$ 、 $x + 1$ と $x + 2$ の組に分けてかけます。
$x (x + 3) = x^{2} + 3 x$
$(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$
なので、 $A = x^{2} + 3 x$ とおくと
$x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = A (A + 2)$
となります。

次に $A = x^{2} + 3 x$ の値を求めます。 $x = \frac{- 3 + 5}{2}$ より
$x^{2} = \frac{( - 3 + 5 ) ^{2}}{4} = \frac{9 - 6 5 + 5}{4} = \frac{14 - 6 5}{4} = \frac{7 - 3 5}{2}$
$3 x = \frac{- 9 + 3 5}{2}$
なので
$A = x^{2} + 3 x = \frac{7 - 3 5}{2} + \frac{- 9 + 3 5}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
したがって
$A (A + 2) = (- 1) \times (- 1 + 2) = (- 1) \times 1 = - 1$

別解

$x (x + 3) = x^{2} + 3 x$ 、 $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ と組み合わせる。
$2 x + 3 = 5$ の両辺を2乗して $4 x^{2} + 12 x + 9 = 5$ 、よって $x^{2} + 3 x = - 1$ 。
$A = x^{2} + 3 x = - 1$ とおくと、式は $A (A + 2) = (- 1) \times 1 = - 1$ 。
検算: $x \approx - 0.382$ として $x (x + 1) (x + 2) (x + 3) \approx (- 0.382) (0.618) (1.618) (2.618) \approx - 1.0$ 。

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