式の値（代入）

文字に数を代入して式の値を求められる。式を先に簡単にしてから代入したり、 $x - 3 y$ のようなまとまりの値を使ったりして、計算をくふうできる

前提

乗法公式による展開（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）

説明

式の中の文字に具体的な数を入れること（代入）で、式の値を求められるようになります。そのまま代入すると計算が大変な式でも、先に式を展開・整理して簡単にしてから代入したり、 $x - 3 y$ のようなまとまりの値をそのまま使ったりすると、計算が楽になりまちがいも減ります。

なぜそうしてよいのか

代入と式の値 式の中の文字を数に置きかえることを代入といい、代入して計算した結果を式の値といいます。負の数や分数を代入するときは、かっこをつけて入れます。たとえば $x = - 3$ のとき、 $x^{2}$ は $(- 3)^{2} = 9$ 、 $- x^{2}$ は $- (- 3)^{2} = - 9$ 、 $2 x$ は $2 \times (- 3) = - 6$ です。かっこをつけないと、累乗やかけ算の意味が変わってしまいます。

先に式を簡単にしてよい理由 展開や同類項の整理は、文字がどんな数であっても成り立つ変形です（分配法則がどんな数でも成り立つからです）。つまり、もとの式と整理したあとの式は、どんな数を代入しても同じ値になります。だから、整理して項の少ない形にしてから代入しても答えは変わりません。 $x^{2}$ の項が消し合うなど、整理で式がずっと簡単になることがよくあります。

まとまりの値を使う理由 たとえば $x - 3 y = 4$ とわかっているとします。 $2 x - 6 y$ は分配法則で $2 (x - 3 y)$ と変形でき、 $x - 3 y$ のところに 4 を入れて $2 \times 4 = 8$ と求められます。同じように $(x - 3 y)^{2}$ なら $4^{2} = 16$ 、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ も乗法公式で $(x - 3 y)^{2}$ と見ることができるので 16 です。 $x$ と $y$ の値が 1 つずつわからなくても、式をまとまり $x - 3 y$ だけで表せれば、式の値は決まります。

手順

式を展開したり同類項をまとめたりして、できるだけ簡単な形に整理する
まとまりの値（ $x - 3 y = 4$ など）が与えられているときは、式をそのまとまりだけで表せる形（ $2 (x - 3 y)$ や $(x - 3 y)^{2}$ など）に変形し、まとまりのところに値を入れる
負の数や分数は、かっこをつけて文字のところに代入する
累乗 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算の順に計算する

例題

$x = - \frac{3}{4}$ のとき、 $(x + 2) (x - 2) - (x - 1)^{2}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】先に式を整理します。乗法公式より $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ 、 $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ なので
$x^{2} - 4 - (x^{2} - 2 x + 1) = x^{2} - 4 - x^{2} + 2 x - 1 = 2 x - 5$

【手順 2】まとまりの値は与えられていないので、この手順は使いません。

【手順 3】 $x = - \frac{3}{4}$ をかっこをつけて代入します。
$2 \times (- \frac{3}{4}) - 5$

【手順 4】かけ算を先に計算して
$- \frac{3}{2} - 5 = - \frac{3}{2} - \frac{10}{2} = - \frac{13}{2}$

答え: $- \frac{13}{2}$

よくある誤り

負の数をかっこなしで代入して、 $x = - 3$ のとき $x^{2} = - 3^{2} = - 9$ としてしまう誤り。正しくは、 $x^{2} = (- 3)^{2} = 9$
$x = - 3$ のとき $- x^{2}$ を $(- x)^{2}$ と考えて $(3)^{2} = 9$ としてしまう誤り。正しくは、 $- x^{2} = - (x^{2}) = - (- 3)^{2} = - 9$
式を整理するとき、ひき算のかっこをはずし忘れて $(x + 2) (x - 2) - (x - 1)^{2} = x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 1 = - 2 x - 3$ としてしまう誤り。正しくは、 $- (x^{2} - 2 x + 1) = - x^{2} + 2 x - 1$ なので $2 x - 5$
$x - 3 y = 4$ のとき、 $2 x - 6 y$ にも $x$ と $y$ がふくまれているからと、係数の 2 を考えずにそのまま $2 x - 6 y = 4$ としてしまう誤り。 $2 x - 6 y$ は $x - 3 y$ の 2 倍なので、正しくは $2 x - 6 y = 2 (x - 3 y) = 2 \times 4 = 8$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x = - 2$ , $y = 5$ のとき、式 $3 x^{2} - 2 y$ の値を求めなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

因数分解を使った数の計算のくふう（中学数学数と式）
解から 1 次方程式の係数を求める（中学数学方程式）