解から 1 次方程式の係数を求める

$5 x - a = 3 x + 2 a - 1$ の解が $x = 4$ のように解が与えられたとき、解を代入して $a$ についての方程式を作り、係数 $a$ を求められる

前提

1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
式の値（代入）（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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式の値（代入）（中学数学数と式）

説明

$5 x - a = 3 x + 2 a - 1$ のように、 $x$ のほかに係数として文字 $a$ がふくまれる方程式で、「解が $x = 4$ である」とわかっているとき、 $a$ の値を求められるようになります。解を代入すると $a$ だけの方程式ができるので、それを解けばよいのです。2 つの方程式の解が等しい問題や、連立方程式の係数を求める問題の土台になります。

なぜそうしてよいのか

解の意味にもどる 方程式の解とは、 $x$ に代入したときに左辺と右辺が等しくなる値のことでした。「 $x = 4$ が解である」ということは、「 $x$ に 4 を代入すると、等式が成り立つ」ということです。

そこで、方程式の $x$ に 4 を代入します。すると $x$ はなくなり、まだわからない $a$ だけをふくむ等式が残ります。この等式は $a$ が正しい値のときに成り立つので、 $a$ についての 1 次方程式と考えて解けば、 $a$ の値が求まります。

このとき、 $x$ と $a$ のどちらが「わからない数」なのかが入れかわっていることに注意します。もとの方程式では $x$ が求める数ですが、代入したあとの方程式では $a$ が求める数です。解き方は、移項・かっこのはずし方・分母をはらうなど、ふつうの 1 次方程式と同じです。求めた $a$ をもとの方程式にもどして解いてみて、本当に $x = 4$ になるかたしかめることもできます。

手順

方程式の $x$ に、与えられた解の値を代入する（負の数や分数はかっこをつける）
$x$ がなくなり、 $a$ だけをふくむ方程式になったことを確かめる
かっこをはずし、 $a$ をふくむ項を一方の辺に、数の項をもう一方の辺に移項する
両辺を計算して、 $a$ の係数でわり、 $a$ の値を求める
求めた $a$ をもとの方程式に入れて解き、与えられた解になるかたしかめる

例題

$x$ についての方程式 $4 x - a = 2 (x + a) - 1$ の解が $x = 4$ であるとき、 $a$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $x = 4$ を代入します。
$4 \times 4 - a = 2 (4 + a) - 1$

【手順 2】 $x$ はなくなり、 $a$ だけの方程式になりました。

【手順 3】かっこをはずして整理すると
$16 - a = 8 + 2 a - 1$
$16 - a = 7 + 2 a$
$a$ の項を右辺に、数の項を左辺に移項して
$16 - 7 = 2 a + a$

【手順 4】 $9 = 3 a$ より、両辺を 3 でわって $a = 3$ です。

【手順 5】 $a = 3$ のとき、もとの方程式は $4 x - 3 = 2 (x + 3) - 1$ 、つまり $4 x - 3 = 2 x + 5$ です。 $2 x = 8$ より $x = 4$ となり、与えられた解と一致します。

答え: $3$

よくある誤り

代入したあと、かっこの中だけに 2 をかけて $2 (4 + a)$ を $8 + a$ としてしまう誤り。正しくは、 $2 (4 + a) = 8 + 2 a$
解の値を $a$ に代入してしまい、 $4 x - 4 = 2 (x + 4) - 1$ を解いて $x$ を求めてしまう誤り。正しくは、解は $x$ の値なので $x$ に 4 を代入し、 $a$ を求める
負の解を代入するときかっこをつけずに、解が $x = - 2$ のとき $a x$ を $a - 2$ としてしまう誤り。正しくは、 $a \times (- 2) = - 2 a$
$a$ を求めたあと、それを答えとせずに、もとの方程式の解 $x = 4$ を答えてしまう誤り。正しくは、問われているのは $a$ の値なので $a = 3$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ についての方程式 $3 x + a = 2 a + 5$ の解が $x = 4$ のとき、 $a$ の値を求めなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

解から連立方程式の係数を求める（中学数学方程式）