次の方程式を解きなさい。
1 次方程式の解き方
移項・かっこのはずし方・係数が分数や小数のときの両辺の整数倍を使って、 や のような 1 次方程式を解ける
前提
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
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一覧で見る（前提が先）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
説明
のように、わからない数を文字 で表した等式を方程式といい、それを成り立たせる の値（解）を求めることを方程式を解くといいます。この技能では、 の 1 次式だけでできた 1 次方程式を、移項やかっこのはずし方、分数・小数の係数を整数に直すくふうを使って解けるようになります。文章題で数量の関係から答えを求めるときの基本になります。
なぜそうしてよいのか
等式の性質 等式 は、てんびんがつり合っている状態にたとえられます。両方の皿に同じ重さをのせても、同じ重さを取っても、両方を同じ倍数にしても、つり合いはくずれません。つまり
- 両辺に同じ数をたしても、ひいても等式は成り立つ
- 両辺に同じ数をかけても、0 でない同じ数でわっても等式は成り立つ
です。この性質を使って、式を「」の形に近づけていきます。□ を求める逆算と同じことを、式全体に対して行っていると考えられます。
移項 の両辺に 7 をたすと 、さらに両辺から をひくと となります。結果だけを見ると、 が右辺に移って に、 が左辺に移って になっています。このように、項の符号を変えて反対の辺に移すことを移項といいます。 をふくむ項を左辺に、数の項を右辺に集めれば、同類項をまとめて のような形にでき、両辺を の係数でわれば解が出ます。
分数・小数の係数 係数に分数があるときは、両辺に分母の最小公倍数をかけると、すべての項が整数の係数になります（小数なら 10 や 100 をかけます）。両辺のすべての項にかけることが大切です。最後に、求めた解をもとの方程式に代入して、左辺と右辺が等しくなるかたしかめられます。
手順
係数に分数があれば両辺に分母の最小公倍数を、小数があれば 10 や 100 をかけて、すべての項の係数を整数にする（分子にはかっこをつける）
かっこがあれば、分配法則ではずす
をふくむ項を左辺に、数の項を右辺に移項する（移した項は符号を変える）
両辺をそれぞれ計算して、 の形にする
両辺を の係数 でわって解を求め、もとの方程式に代入してたしかめる
例題
方程式 を解け。
例題の解答
【手順 1】分母 2 と 3 の最小公倍数 6 を両辺にかけます。分子にはかっこをつけます。
【手順 2】かっこをはずします。 に注意して
【手順 3】数の項 と を右辺に移項します。
【手順 4】両辺を計算して
【手順 5】両辺を でわって です。
（たしかめ: 左辺は で、右辺と等しい）
答え:
よくある誤り
分母をはらうとき右辺にかけ忘れて としてしまう誤り。正しくは、両辺のすべての項に 6 をかけて右辺は
分子にかっこをつけずにはらって を や としてしまう誤り。正しくは、
移項するとき符号を変え忘れて、 から としてしまう誤り。正しくは、 は右辺で 、 は左辺で になり で
や の最後で、係数でわらずにひいてしまい や としてしまう誤り。正しくは、両辺を係数でわって 、
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
美術の授業で、クラスの生徒に画用紙を配ります。1 人に 6 枚ずつ配ると 14 枚余り、1 人に 8 枚ずつ配ると 10 枚足りません。画用紙は全部で何枚あるか求めよ。
現在、父の年齢は 歳、子の年齢は 歳である。父の年齢が子の年齢のちょうど 倍になるのは、今から何年後か求めよ。
についての方程式 の解が であるとき、 の値を求めよ。
弟が家を出発し、分速 m で歩いて駅へ向かった。その 分後に、兄が家を出発し、同じ道を分速 m の自転車で弟を追いかけた。兄が弟に追いつくのは、兄が家を出発してから何分後か求めよ。ただし、兄が弟に追いつく前に弟は駅に着かないものとする。
ある正多角形では、1 つの内角の大きさが 1 つの外角の大きさの 倍になっている。この正多角形の対角線の本数を求めよ。
濃度 の食塩水が あります。この食塩水から を取り出し、かわりに濃度 の食塩水を 加えてよくかき混ぜました。さらに、水を 加えてよくかき混ぜたところ、濃度 の食塩水になりました。 の値を求めなさい。ただし、 とします。
ある店で、1 個 円で仕入れた品物を何個か仕入れ、仕入れ値の 割の利益を見込んで定価をつけました。仕入れた個数の を定価で売り、残りをすべて定価の 割引きで売ったところ、利益の合計は 円になりました。仕入れた品物の個数を求めなさい。ただし、消費税は考えないものとし、利益は売り上げの合計から仕入れ値の合計をひいたものとします。
についての方程式 の解が であるとき、定数 の値を求めなさい。
、 の台形 があり、、、 である。点 は頂点 を出発し、辺 上を毎秒 の速さで頂点 まで動く。
点 が を出発してから 秒後の四角形 の面積を とする。ただし、 のときは の面積を とする。
が台形 の面積のちょうど半分になるのは、点 が を出発してから何秒後か求めなさい。
A 中学校の 2 年生と B 中学校の 2 年生の合計 人について、ある日の睡眠時間を調べ、それぞれ度数分布表にまとめた。睡眠時間が 時間以上 時間未満の階級の相対度数は、A 中学校の 2 年生では 、B 中学校の 2 年生では であった。また、2 校の 2 年生 人を合わせた度数分布表では、この階級の相対度数は であった。A 中学校の 2 年生の人数を求めよ。
時計の長針と短針は、それぞれ一定の速さで回っている。長針は 分で 回転し、短針は 時間で 回転する。3 時から 4 時までの間で、長針と短針がぴったり重なるのは 3 時何分か。3 時から何分後かを求め、その値を分数で答えよ。
空の水そうに水を入れる。A 管だけを使うと 分で満水になり、B 管だけを使うと 分で満水になる。はじめに A 管だけで何分間か水を入れ、その後 A 管と B 管の両方を使って水を入れたところ、水を入れ始めてからちょうど 分で満水になった。A 管だけで水を入れていたのは何分間か求めよ。
の直角三角形 において、、 である。 の二等分線と辺 の交点を とする。線分 の長さは何 cm か求めよ。
、、 の がある。頂点 から辺 にひいた垂線の長さは何 か求めよ。
関数 について、 の値が から まで増加するときの変化の割合は である。
この関数で、 の値が から まで増加するときの変化の割合は、 の値が から まで増加するときの変化の割合のちょうど 倍である。
の変域を とするとき、 の最小値を求めなさい。
、 の台形 があり、、、 である。
点 は頂点 を出発し、台形の辺上を の順に毎秒 の速さで動き、 に着いたら止まる。点 が を出発してから 秒後の の面積を とする（ が または にあるときは とする）。
となるときの の値は 2 つある。その 2 つの値を、小さい順に組で求めなさい。
、 の長方形 がある。辺 の中点を とする。この長方形を、頂点 が点 に重なるように 本の直線を折り目として折る。折り目の直線と辺 との交点を 、辺 との交点を とするとき、線分 の長さは何 か求めよ。
の がある。辺 上に点 、辺 上に点 があり、
が成り立っている。このとき、 の大きさは何度か求めよ。ただし、点 , は三角形の頂点とは異なる点とする。において、、、 である。 の二等分線と辺 の交点を とする。線分 の長さは何 cm か求めよ。
6 cm4 cm長方形 があり、、 である。点 は頂点 を出発し、毎秒 の速さで辺 上を まで進み、続けて辺 上を に向かって進む。点 は点 と同時に頂点 を出発し、毎秒 の速さで辺 上を に向かって進む。2 点 , は、出発してから 秒後に同時に止まる。
出発してから 秒後（）について考える。 の面積が の面積のちょうど 倍になるときは 2 回ある。それは出発してから何秒後か。小さい順に求めよ。
、、 の があります。 の つの頂点を通る円（外接円）の中心を とします。この円の半径は何 か求めなさい。
この技能の次に学べること
- 1 次不等式 （数学I 数と式）
- 熱量と比熱・熱容量 （高校物理 熱と気体）
- 解から 1 次方程式の係数を求める （中学数学 方程式）
- 1 次方程式の文章題 （中学数学 方程式）
- 連立方程式の解き方（加減法・代入法） （中学数学 方程式）
- 因数分解による 2 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
- 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）
- 印をつけたものを混ぜる推定 （中学数学 データの活用）