方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学方程式

濃度 $10%$ の食塩水が $400 g$ あります。この食塩水から $x g$ を取り出し、かわりに濃度 $4%$ の食塩水を $x g$ 加えてよくかき混ぜました。さらに、水を $100 g$ 加えてよくかき混ぜたところ、濃度 $6.8%$ の食塩水になりました。 $x$ の値を求めなさい。ただし、 $0 < x < 400$ とします。

この問題で使うもの

1 次方程式の文章題（説明と入口の問題）
1 次方程式の解き方（説明と入口の問題）
百分率と歩合（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

食塩水の問題では、食塩の量に注目して等式をつくります。水を加えても食塩の量は変わりません。

ヒント 2

最後の食塩水の重さは、取り出した量と加えた量が同じなので $400 + 100 = 500 (g)$ です。最後にふくまれる食塩は $500 \times 0.068$ g です。

ヒント 3

残った $10%$ の食塩水 $(400 - x)$ g と、加えた $4%$ の食塩水 $x$ g にふくまれる食塩の和が $34$ g になることから方程式をつくりましょう。

答えと解説

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100

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解説を読む

食塩の量に注目して方程式をつくります。

はじめの食塩水 $400 g$ から $x g$ を取り出すと、残りは $(400 - x) g$ で、ふくまれる食塩は
$(400 - x) \times \frac{10}{100} = 40 - \frac{1}{10} x (g)$
加えた $4%$ の食塩水 $x g$ にふくまれる食塩は
$x \times \frac{4}{100} = \frac{1}{25} x (g)$
水を加えても食塩の量は変わらないので、最後の食塩水にふくまれる食塩は
$40 - \frac{1}{10} x + \frac{1}{25} x (g)$

一方、最後の食塩水の重さは $(400 - x) + x + 100 = 500 (g)$ で、濃度が $6.8%$ なので、食塩は
$500 \times \frac{6.8}{100} = 34 (g)$

よって
$40 - \frac{1}{10} x + \frac{1}{25} x = 34$
両辺に $50$ をかけて
$2000 - 5 x + 2 x = 1700$
$- 3 x = - 300$
$x = 100$

これは $0 < x < 400$ を満たします。

確かめ: 食塩は $300 \times 0.1 + 100 \times 0.04 = 30 + 4 = 34 (g)$ 、全体は $500 g$ で、 $34 \div 500 \times 100 = 6.8 (%)$ となり、条件に合います。

別解

はじめの食塩の量は $400 \times 0.1 = 40$ g。
$x$ g を取り出すと食塩は $0.1 x$ g 減り、 $4%$ の食塩水 $x$ g を加えると食塩は $0.04 x$ g 増える。
食塩の量は $40 - 0.1 x + 0.04 x = 40 - 0.06 x$ (g)。
水 $100$ g を加えると全体は $400 + 100 = 500$ g で、 $6.8%$ の食塩は $500 \times 0.068 = 34$ g。
$40 - 0.06 x = 34$ より $0.06 x = 6$ 、 $x = 100$ 。これは $0 < x < 400$ を満たす。
検算: $x = 100$ のとき食塩は $40 - 10 + 4 = 34$ g、 $34 \div 500 = 0.068$ で $6.8%$ 。

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